ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1465 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Используя формулы половинного угла, найдите значения синуса, косинуса и тангенса угла \( 22^\circ 30′ \).

Заметим, что:

\( 22^\circ 30′ = \frac{45^\circ}{2} \)

1. Найдём \( \sin 22^\circ 30′ \)

Формула для синуса половинного угла:

\( \sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 — \cos \theta}{2}} \)

Здесь \( \theta = 45^\circ \), поэтому:

\( \sin 22^\circ 30′ = \sqrt{\frac{1 — \cos 45^\circ}{2}} \)

Из таблицы: \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), подставим:

\( \sin 22^\circ 30′ = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} =
\sqrt{ \frac{2 — \sqrt{2}}{4} } =
\frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2} \)

Ответ: \( \sin 22^\circ 30′ = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2} \)

2. Найдём \( \cos 22^\circ 30′ \)

Формула для косинуса половинного угла:

\( \cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} \)

Подставим:

\( \cos 22^\circ 30′ = \sqrt{\frac{1 + \cos 45^\circ}{2}} =
\sqrt{ \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} } =
\sqrt{ \frac{2 + \sqrt{2}}{4} } =
\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \)

Ответ: \( \cos 22^\circ 30′ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \)

3. Найдём \( \tan 22^\circ 30′ \)

Формула тангенса половинного угла:

\( \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \)

Подставим \( \theta = 45^\circ \):

\( \tan 22^\circ 30′ =
\frac{\sin 45^\circ}{1 + \cos 45^\circ} =
\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} \)

Домножим числитель и знаменатель на 2:

\( \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \)

Рацинализируем знаменатель:

\( \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 — \sqrt{2}}{2 — \sqrt{2}} =
\frac{\sqrt{2}(2 — \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 — \sqrt{2})} =
\frac{2\sqrt{2} — 2}{4 — 2} = \frac{2\sqrt{2} — 2}{2} = \sqrt{2} — 1 \)

Ответ: \( \tan 22^\circ 30′ = \sqrt{2} — 1 \)