ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1464 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Условие:

Дано: \( \sin \alpha = \frac{14}{50}, \quad \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)

Найти:

\( \sin \frac{\alpha}{2}, \quad
\cos \frac{\alpha}{2}, \quad
\tan \frac{\alpha}{2} \)

Шаг 1: Найдём \( \cos \alpha \)

Используем основное тригонометрическое тождество:

\( \cos \alpha = \pm \sqrt{1 — \sin^2 \alpha} \)

Поскольку \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \), угол находится во второй четверти, где:

\( \cos \alpha < 0 \), значит знак минус.

Подставим:

\( \sin \alpha = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{49}{625} \)

\( \cos \alpha = -\sqrt{1 — \frac{49}{625}} = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25} \)

Шаг 2: Найдём \( \sin \frac{\alpha}{2} \)

Формула половинного угла:

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 — \cos \alpha}{2} } \)

Подставим \( \cos \alpha = -\frac{24}{25} \):

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 + \frac{24}{25}}{2} } = \sqrt{ \frac{49}{50} } \)

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{49 \cdot 2}}{\sqrt{100}} = \frac{7\sqrt{2}}{10} \)

Шаг 3: Найдём \( \cos \frac{\alpha}{2} \)

Формула:

\( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 + \cos \alpha}{2} } \)

Подставим:

\( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 — \frac{24}{25}}{2} } = \sqrt{ \frac{1}{50} } \)

\( \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{10} \)

Шаг 4: Найдём \( \tan \frac{\alpha}{2} \)

Формула:

\( \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{\alpha}{2} }{ \cos \frac{\alpha}{2} } \)

Подставим:

\( \tan \frac{\alpha}{2} =
\frac{ \frac{7\sqrt{2}}{10} }{ \frac{\sqrt{2}}{10} } =
\frac{7\sqrt{2}}{10} \cdot \frac{10}{\sqrt{2}} =
7 \)

Ответ:

\( \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{10}, \quad
\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{10}, \quad
\tan \frac{\alpha}{2} = 7 \)