ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1461 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Упростим выражение:

\( 4 \sin^2 1^\circ \cos^2 1^\circ — \cos^2 2^\circ \)

Сначала используем формулу:

\( 2 \sin x \cos x = \sin 2x \Rightarrow \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x \)

Тогда:

\( 4 \sin^2 1^\circ \cos^2 1^\circ = \sin^2 2^\circ \)

Подставим в исходное выражение:

\( \sin^2 2^\circ — \cos^2 2^\circ \)

Это разность квадратов синуса и косинуса:

\( \sin^2 x — \cos^2 x = -\cos 2x \)

Значит:

\( \sin^2 2^\circ — \cos^2 2^\circ = -\cos 4^\circ \)

Ответ: \( -\cos 4^\circ \)

б) Упростим выражение:

\( 16 \sin^2 3^\circ \cos^2 3^\circ \cos^2 6^\circ \)

Сначала выделим: \( 16 \sin^2 3^\circ \cos^2 3^\circ = 4 \sin^2 6^\circ \),
так как:

\( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x \)

Значит:

\( 16 \sin^2 3^\circ \cos^2 3^\circ = 4 \sin^2 6^\circ \)

Теперь выражение:

\( 4 \sin^2 6^\circ \cos^2 6^\circ \)

И снова применим: \( \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x \Rightarrow \frac{1}{4} \sin^2 12^\circ = \sin^2 6^\circ \cos^2 6^\circ \)

Значит:

\( 4 \sin^2 6^\circ \cos^2 6^\circ = \sin^2 12^\circ \)

Ответ: \( \sin^2 12^\circ \)

в) Упростим выражение:

\( (\sin 10^\circ + \sin 80^\circ)(\cos 80^\circ — \cos 10^\circ) \)

Используем формулы суммы и разности синусов и косинусов:

\( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A — B}{2} \)

\( \cos A — \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A — B}{2} \)

Подставим:

\( \sin 10^\circ + \sin 80^\circ = 2 \sin 45^\circ \cos 35^\circ \)

\( \cos 80^\circ — \cos 10^\circ = -2 \sin 45^\circ \sin 35^\circ \)

Перемножим:

\( (2 \sin 45^\circ \cos 35^\circ)(-2 \sin 45^\circ \sin 35^\circ) = -4 \sin^2 45^\circ \cos 35^\circ \sin 35^\circ \)

\( \sin^2 45^\circ = \frac{1}{2} \), и \( 2 \sin x \cos x = \sin 2x \), значит:

\( -4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 70^\circ = -\cos 20^\circ \)

Или: \( \cos^2 80^\circ — \sin^2 80^\circ = \cos(160^\circ) = -\cos 20^\circ \)

Ответ: \( -\cos 20^\circ \)

г) Упростим выражение:

\( (\cos 5^\circ + \cos 95^\circ)(\sin 85^\circ + \sin 175^\circ) \)

Заметим: \( \cos 95^\circ = -\sin 5^\circ \), \( \sin 85^\circ = \cos 5^\circ \), \( \sin 175^\circ = \sin(180^\circ — 5^\circ) = \sin 5^\circ \)

Тогда:

\( (\cos 5^\circ — \sin 5^\circ)(\cos 5^\circ + \sin 5^\circ) \)

Это разность квадратов:

\( \cos^2 5^\circ — \sin^2 5^\circ = \cos 10^\circ \)

Ответ: \( \cos 10^\circ \)