ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1460 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Упростим выражение:

\( (\sin \alpha — \sin \beta)^2 + (\cos \alpha — \cos \beta)^2 \)

Раскроем каждое из квадратов по формуле \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \):

\( = \sin^2 \alpha — 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha — 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta \)

Группируем:

\( = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) — 2(\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta) \)

Из тождества \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):

\( = 1 + 1 — 2(\cos(\alpha — \beta)) \), поскольку \( \cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)

\( = 2(1 — \cos(\alpha — \beta)) \)

Ответ: \( 2(1 — \cos(\alpha — \beta)) \)

б) Упростим выражение:

\( \cos \alpha (\cos \alpha + \cos \beta) + \sin \alpha (\sin \alpha + \sin \beta) \)

Раскроем скобки:

\( = \cos^2 \alpha + \cos \alpha \cos \beta + \sin^2 \alpha + \sin \alpha \sin \beta \)

Группируем:

\( = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \)

Первое слагаемое — это 1. Второе — это \( \cos(\alpha — \beta) \)

\( = 1 + \cos(\alpha — \beta) \)

Ответ: \( 1 + \cos(\alpha — \beta) \)

в) Упростим выражение:

\( \frac{1 — \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x} \)

Вспомним формулы:

\( \cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x \),   \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \),   \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)

Рассмотрим числитель:

\( 1 — \cos 2x + \sin 2x = (1 — \cos 2x) + \sin 2x \)

Используем: \( 1 — \cos 2x = 2 \sin^2 x \), и \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)

Тогда числитель: \( 2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 2 \sin x (\sin x + \cos x) \)

Аналогично, знаменатель:

\( 1 + \cos 2x + \sin 2x = (1 + \cos 2x) + \sin 2x \)

\( 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x \), и \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)

Тогда знаменатель: \( 2 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 2 \cos x (\cos x + \sin x) \)

Теперь всё выражение:

\( \frac{2 \sin x (\sin x + \cos x)}{2 \cos x (\cos x + \sin x)} \)

Сократим общий множитель \( 2(\sin x + \cos x) \):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \)

Ответ: \( \tan x \)

г) Упростим выражение:

\( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} — 2 \tan 2\alpha \)

Приведём первые два слагаемых к общему знаменателю:

\( \frac{\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \)

Знаменатель: \( \sin \alpha \cos \alpha \), числитель: \( \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \)

По формуле \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), тогда:

\( \frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha} = \frac{2 \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \)

Следовательно, выражение перепишется как:

\( \frac{2 \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} — 2 \tan 2\alpha \)

Преобразуем \( \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \):

\[
\frac{2 \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} — 2 \cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}
= \frac{2(\cos^2 2\alpha — \sin^2 2\alpha)}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}
\]

Используем формулу: \( \cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x \), то получаем в числителе:

\( 2(\cos^2 2\alpha — \sin^2 2\alpha) = 2 \cos 4\alpha \)

Тогда всё выражение:

\( \frac{2 \cos 4\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} \)

А \( \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \), поэтому:

\( \frac{4 \cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = 4 \cot 4\alpha \)

Ответ: \( 4 \cot 4\alpha \)