ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1459 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) \( \cos^4 \alpha — \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha; \)

б) \( \sin 2\beta — \tan \beta = \cos 2\beta \tan \beta; \)

в) \( \cot 2\varphi — \sin 2\varphi = \cot \varphi \cos 2\varphi; \)

г) \( \frac{1}{1 — \tan \alpha} — \frac{1}{1 + \tan \alpha} = \tan 2\alpha. \)

Доказать тождество:

а) \( \cos^4 a — \sin^4 a = \cos 2a; \)

\( (\cos^2 a — \sin^2 a)(\cos^2 a + \sin^2 a) = \cos 2a; \)

\( \cos 2a \cdot 1 = \cos 2a, \quad \cos 2a = \cos 2a; \)

Тождество доказано.

б) \( \sin 2\beta — \tan \beta = \cos 2\beta \tan \beta; \)

\( 2 \sin \beta \cos \beta — \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \cos 2\beta \tan \beta; \)

\( \frac{\sin \beta}{\cos \beta}(2 \cos^2 \beta — 1) = (2 \cos^2 \beta — 1) \frac{\sin \beta}{\cos \beta}; \)

Тождество доказано.

в) \( \cot \varphi — \sin 2\varphi = \cot \varphi \cos 2\varphi; \)

\( \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} — 2 \sin \varphi \cos \varphi = \cot \varphi \cos 2\varphi; \)

\( \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi}(1 — 2 \sin^2 \varphi) = \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi}(1 — \sin^2 \varphi); \)

Тождество доказано.

г) \( \frac{1}{1 — \tan \alpha} — \frac{1}{1 + \tan \alpha} = \tan 2\alpha; \)

\( \frac{1 + \tan \alpha — (1 — \tan \alpha)}{(1 — \tan \alpha)(1 + \tan \alpha)} = \tan 2\alpha; \)

\( \frac{2 \tan \alpha}{1 — \tan^2 \alpha}; \frac{2 \tan \alpha}{1 — \tan^2 \alpha}\)

Тождество доказано.

а) Докажем тождество:

\( \cos^4 \alpha — \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha \)

Левая часть — это разность четвертых степеней. Используем формулу:

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \)

Пусть \( a = \cos^2 \alpha \), \( b = \sin^2 \alpha \). Тогда:

\( \cos^4 \alpha — \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \)

Из основного тригонометрического тождества:

\( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \)

Получаем:

\( (\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha) \cdot 1 = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha \)

А это, по определению, есть:

\( \cos 2\alpha \)

Тождество доказано.

б) Докажем тождество:

\( \sin 2\beta — \tan \beta = \cos 2\beta \cdot \tan \beta \)

Используем формулы:

\( \sin 2\beta = 2 \sin \beta \cos \beta \),
\( \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \),
\( \cos 2\beta = 2 \cos^2 \beta — 1 \)

Подставим в левую часть:

\( 2 \sin \beta \cos \beta — \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \)

Вынесем \( \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \) за скобки:

\( \frac{\sin \beta}{\cos \beta}(2 \cos^2 \beta — 1) \)

Правая часть: \( \cos 2\beta \cdot \tan \beta = (2 \cos^2 \beta — 1) \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \)

Левая и правая части совпадают:

\( \frac{\sin \beta}{\cos \beta}(2 \cos^2 \beta — 1) = (2 \cos^2 \beta — 1) \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \)

Тождество доказано.

в) Докажем тождество:

\( \cot 2\varphi — \sin 2\varphi = \cot \varphi \cdot \cos 2\varphi \)

Используем формулы:

\( \cot \varphi = \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} \),
\( \sin 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi \),
\( \cos 2\varphi = 1 — 2 \sin^2 \varphi \)

Левая часть:

\( \cot \varphi — \sin 2\varphi = \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} — 2 \sin \varphi \cos \varphi \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{\cos \varphi — 2 \sin^2 \varphi \cos \varphi}{\sin \varphi} = \frac{\cos \varphi (1 — 2 \sin^2 \varphi)}{\sin \varphi} \)

Правая часть: \( \cot \varphi \cdot \cos 2\varphi = \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} \cdot (1 — 2 \sin^2 \varphi) \)

Выражения совпадают:

\( \frac{\cos \varphi (1 — 2 \sin^2 \varphi)}{\sin \varphi} = \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} \cdot \cos 2\varphi \)

Тождество доказано.

г) Докажем тождество:

\( \frac{1}{1 — \tan \alpha} — \frac{1}{1 + \tan \alpha} = \tan 2\alpha \)

Левая часть — разность дробей. Приводим к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{1 — \tan \alpha} — \frac{1}{1 + \tan \alpha} =
\frac{(1 + \tan \alpha) — (1 — \tan \alpha)}{(1 — \tan \alpha)(1 + \tan \alpha)}
\]

В числителе:

\( 1 + \tan \alpha — 1 + \tan \alpha = 2 \tan \alpha \)

В знаменателе формула разности квадратов:

\( (1 — \tan \alpha)(1 + \tan \alpha) = 1 — \tan^2 \alpha \)

Получаем:

\( \frac{2 \tan \alpha}{1 — \tan^2 \alpha} \)

Это по формуле тангенса двойного угла:

\( \frac{2 \tan \alpha}{1 — \tan^2 \alpha}; \frac{2 \tan \alpha}{1 — \tan^2 \alpha}\)

Тождество доказано.