ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1458 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение:
а) \( \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha}; \)
б) \( \frac{\cos \beta}{\cos \frac{\beta}{2} — \sin \frac{\beta}{2}}; \)
в) \( \frac{\cos^2 2\alpha}{\sin 4\alpha}; \)
г) \( \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 — \sin^2 2\alpha}. \)
Преобразовать выражение:
а) \( \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \tan \frac{\alpha}{2}; \)
б) \( \frac{\cos \beta}{\cos \frac{\beta}{2} — \sin \frac{\beta}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{\beta}{2} — \sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2} — \sin \frac{\beta}{2}} = \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2}; \)
в) \( \frac{\cos^2 2\alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos^2 2\alpha}{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha} = \frac{1}{2} \cot 2\alpha; \)
г) \( \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 — \sin^2 2\alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 — \sin^2 2\alpha} = \)
\( = \frac{1 + \sin 2\alpha}{(1 — \sin 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)} = \frac{1}{1 — \sin 2\alpha}. \)
а) Упростим выражение:
\( \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha} \)
Вспомним формулу двойного угла для синуса:
\( \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \)
Подставим эту формулу в знаменатель:
\( \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} \)
Сократим \( 2 \) и \( \sin \frac{\alpha}{2} \) в числителе и знаменателе:
\( \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \tan \frac{\alpha}{2} \)
Ответ: \( \tan \frac{\alpha}{2} \)
б) Упростим выражение:
\( \frac{\cos \beta}{\cos \frac{\beta}{2} — \sin \frac{\beta}{2}} \)
В числителе используем формулу двойного угла для косинуса:
\( \cos \beta = \cos^2 \frac{\beta}{2} — \sin^2 \frac{\beta}{2} \)
Подставим в числитель:
\( \frac{\cos^2 \frac{\beta}{2} — \sin^2 \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2} — \sin \frac{\beta}{2}} \)
Числитель — это формула разности квадратов:
\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \)
Применим её:
\( \frac{(\cos \frac{\beta}{2} — \sin \frac{\beta}{2})(\cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2})}{\cos \frac{\beta}{2} — \sin \frac{\beta}{2}} \)
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:
\( \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2} \)
Ответ: \( \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2} \)
в) Упростим выражение:
\( \frac{\cos^2 2\alpha}{\sin 4\alpha} \)
В знаменателе используем формулу двойного угла:
\( \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \)
Подставим в выражение:
\( \frac{\cos^2 2\alpha}{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha} \)
Сократим \( \cos 2\alpha \) в числителе и знаменателе:
\( \frac{\cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha} \)
А это и есть определение котангенса:
\( \frac{1}{2} \cot 2\alpha \)
Ответ: \( \frac{1}{2} \cot 2\alpha \)
г) Упростим выражение:
\( \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 — \sin^2 2\alpha} \)
Сначала раскроем квадрат суммы в числителе:
\( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)
Сгруппируем \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), тогда числитель:
\( 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
По формуле двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
Значит числитель: \( 1 + \sin 2\alpha \)
Теперь знаменатель: \( 1 — \sin^2 2\alpha \)
Это выражение преобразуем по формуле разности квадратов:
\( 1 — \sin^2 x = \cos^2 x \), но здесь нам нужно использовать:
\[
1 — \sin^2 2\alpha = (1 — \sin 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)
\]
Теперь выражение становится:
\( \frac{1 + \sin 2\alpha}{(1 — \sin 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)} \)
Сокращаем множитель \( 1 + \sin 2\alpha \):
\( \frac{1}{1 — \sin 2\alpha} \)
Ответ: \( \frac{1}{1 — \sin 2\alpha} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.