ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1457 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( 1 — 2 \sin^2 \alpha; \)
б) \( 2 \cos^2 \alpha — 1; \)
в) \( \cot \alpha — \tan \alpha; \)
г) \( \frac{1 — \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}. \)
Упростить выражение:
а) \( 1 — 2 \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha — 2 \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha; \)
б) \( 2 \cos^2 \alpha — 1 = 2 \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha = \cos 2\alpha; \)
в) \( \cot \alpha — \tan \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} — \tan \alpha = \frac{1 — \tan^2 \alpha}{\tan \alpha} = 2 \cot 2\alpha; \)
г) \( \frac{1 — \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} = \cos 2\alpha. \)
а) Упростим выражение:
\( 1 — 2 \sin^2 \alpha \)
Вспомним основное тригонометрическое тождество:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \)
Подставим вместо единицы:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha — 2 \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha \)
Это формула для косинуса двойного угла:
\( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha \)
Ответ: \( \cos 2\alpha \)
б) Упростим выражение:
\( 2 \cos^2 \alpha — 1 \)
Вспомним формулу:
\( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha — 1 \)
Следовательно:
\( 2 \cos^2 \alpha — 1 = \cos 2\alpha \)
Альтернативно, можно представить \( 1 \) как \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \), и тогда:
\( 2 \cos^2 \alpha — (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \)
Ответ: \( \cos 2\alpha \)
в) Упростим выражение:
\( \cot \alpha — \tan \alpha \)
Вспомним, что:
\( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \)
Тогда:
\( \cot \alpha — \tan \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} — \tan \alpha \)
Приведём к общему знаменателю:
\( \frac{1 — \tan^2 \alpha}{\tan \alpha} \)
Это можно выразить через двойной угол: по формуле:
\( \cot 2\alpha = \frac{1 — \tan^2 \alpha}{2 \tan \alpha} \)
Следовательно:
\( \frac{1 — \tan^2 \alpha}{\tan \alpha} = 2 \cot 2\alpha \)
Ответ: \( 2 \cot 2\alpha \)
г) Упростим выражение:
\( \frac{1 — \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} \)
Разделим числитель и знаменатель на \( \cos^2 \alpha \):
Вспомним, что:
\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \Rightarrow \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \)
Тогда:
\[
\frac{1 — \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} =\]
\[\frac{\frac{\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} =\]
\[\frac{\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}
\]
Поскольку \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), то остаётся:
\( \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \)
Ответ: \( \cos 2\alpha \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.