ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1455 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \frac{\cos 2x}{\sin x — \cos x}; \)
б) \( \frac{\sin 2\alpha — 2 \sin \alpha}{\cos \alpha — 1}; \)
в) \( \frac{(\sin x — \cos x)^2}{1 — \sin 2x}; \)
г) \( \frac{\cos 2\alpha \tan 2\alpha}{2 \sin \alpha}; \)
Д)\( \frac{\cos 2\alpha \tan 2\alpha}{2 \sin \alpha}\)
е) \( \frac{\cos 2x}{2 \cos x \cot 2x} \)
Преобразовать выражение:
а) \( \frac{\cos 2x}{\sin x — \cos x} = \frac{\cos^2 x — \sin^2 x}{-(\cos x — \sin x)} = -(\sin x + \cos x); \)
б) \( \frac{\sin 2\alpha — 2 \sin \alpha}{\cos \alpha — 1} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha — 2 \sin \alpha}{\cos \alpha — 1} = 2 \sin \alpha; \)
в) \( \frac{\cos \alpha — \sin 2\alpha}{1 — 2 \sin \alpha} = \frac{\cos \alpha — 2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 — 2 \sin \alpha} = \cos \alpha; \)
г) \( \frac{(\sin x — \cos x)^2}{1 — \sin 2x} = \frac{\sin^2 x — 2 \sin x \cos x + \cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x — 2 \sin x \cos x} = 1; \)
д) \( \frac{\cos 2\alpha \tan 2\alpha}{2 \sin \alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{2 \sin \alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha} = \cos \alpha; \)
е) \( \frac{\cos 2x}{2 \cos x \cot 2x} = \frac{\sin 2x}{2 \cos x} = \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos x} = \sin x; \)
а) Упростим выражение:
\( \frac{\cos 2x}{\sin x — \cos x} \)
Сначала воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:
\( \cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x \)
Подставим это в числитель:
\( \frac{\cos^2 x — \sin^2 x}{\sin x — \cos x} \)
Заменим знаменатель: \( \sin x — \cos x = -(\cos x — \sin x) \)
Тогда получаем:
\( \frac{\cos^2 x — \sin^2 x}{-(\cos x — \sin x)} \)
Теперь заметим, что числитель можно разложить по формуле разности квадратов:
\( \cos^2 x — \sin^2 x = (\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x) \)
Подставим:
\( \frac{(\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x)}{-(\cos x — \sin x)} \)
Сократим множитель \( \cos x — \sin x \):
\( -(\cos x + \sin x) \)
Ответ: \( -(\sin x + \cos x) \)
б) Упростим выражение:
\( \frac{\sin 2\alpha — 2 \sin \alpha}{\cos \alpha — 1} \)
Вспомним, что:
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
Подставим в числитель:
\( \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha — 2 \sin \alpha}{\cos \alpha — 1} \)
Вынесем общий множитель \( 2 \sin \alpha \):
\( \frac{2 \sin \alpha (\cos \alpha — 1)}{\cos \alpha — 1} \)
Сократим одинаковые множители:
\( 2 \sin \alpha \)
Ответ: \( 2 \sin \alpha \)
в) Упростим выражение:
\( \frac{\cos \alpha — \sin 2\alpha}{1 — 2 \sin \alpha} \)
Известно, что:
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
Подставим:
\( \frac{\cos \alpha — 2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 — 2 \sin \alpha} \)
В числителе вынесем \( \cos \alpha \):
\( \frac{\cos \alpha (1 — 2 \sin \alpha)}{1 — 2 \sin \alpha} \)
Сократим:
\( \cos \alpha \)
Ответ: \( \cos \alpha \)
г) Упростим выражение:
\( \frac{(\sin x — \cos x)^2}{1 — \sin 2x} \)
В числителе используем формулу квадрата разности:
\( (\sin x — \cos x)^2 = \sin^2 x — 2 \sin x \cos x + \cos^2 x \)
Сгруппируем: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), поэтому:
\( (\sin x — \cos x)^2 = 1 — 2 \sin x \cos x \)
Также знаем: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), следовательно:
\( 1 — 2 \sin x \cos x = 1 — \sin 2x \)
Тогда всё выражение становится:
\( \frac{1 — \sin 2x}{1 — \sin 2x} = 1 \)
Ответ: \( 1 \)
д) Упростим выражение:
\( \frac{\cos 2\alpha \cdot \tan 2\alpha}{2 \sin \alpha} \)
Используем определение тангенса: \( \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \)
Тогда:
\( \cos 2\alpha \cdot \tan 2\alpha = \cos 2\alpha \cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \sin 2\alpha \)
Подставим:
\( \frac{\sin 2\alpha}{2 \sin \alpha} \)
Вспомним: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), подставим:
\( \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha} \)
Сократим \( 2 \sin \alpha \):
\( \cos \alpha \)
Ответ: \( \cos \alpha \)
е) Упростим выражение:
\( \frac{\cos 2x}{2 \cos x \cot 2x} \)
Используем определение котангенса: \( \cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} \)
Подставим в знаменатель:
\( 2 \cos x \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x} \)
Теперь подставим всё в исходное выражение:
\( \frac{\cos 2x}{2 \cos x \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x}} =
\frac{\cos 2x \cdot \sin 2x}{2 \cos x \cdot \cos 2x} \)
Сократим \( \cos 2x \):
\( \frac{\sin 2x}{2 \cos x} \)
По формуле \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), подставим:
\( \frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos x} \)
Сократим \( 2 \cos x \):
\( \sin x \)
Ответ: \( \sin x \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.