ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1452 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Вычислите \( \sin 2\alpha \), \( \cos 2\alpha \), \( \tan 2\alpha \), если:

\( \tan \alpha = 2.4 \quad \text{и} \quad \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)

Шаг 1: Найдём значения \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \).

Так как известно:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{12}{5} = 2.4,
\]
воспользуемся единичным кругом и вспомогательным прямоугольным треугольником со сторонами:
\[
\text{катеты } 12 \text{ и } 5, \quad \text{гипотенуза } = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.
\]

Отсюда:
\[
|\sin \alpha| = \frac{12}{13}, \quad |\cos \alpha| = \frac{5}{13}.
\]

Так как \( \alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) \), т.е. угол в третьей четверти, а там синус и косинус отрицательны, получаем:
\[
\sin \alpha = -\frac{12}{13}, \quad \cos \alpha = -\frac{5}{13}.
\]

Шаг 2: Найдём \( \sin 2\alpha \):

Формула:
\[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left( -\frac{12}{13} \right) \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) = 2 \cdot \frac{60}{169} = \frac{120}{169}.
\]

Шаг 3: Найдём \( \cos 2\alpha \):

Формула:
\[
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \left( -\frac{5}{13} \right)^2 -\]

\[\left( -\frac{12}{13} \right)^2 = \frac{25}{169} — \frac{144}{169} = -\frac{119}{169}.
\]

Шаг 4: Найдём \( \tan 2\alpha \):

\[
\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\frac{120}{169}}{-\frac{119}{169}} = -\frac{120}{119}.
\]

Запишем результат также в виде смешанной дроби:
\[
-\frac{120}{119} = -1 \frac{1}{119}.
\]

Ответ:

• \( \sin 2\alpha = \frac{120}{169} \);
• \( \cos 2\alpha = -\frac{119}{169} \);
• \( \tan 2\alpha = -\frac{120}{119} = -1 \frac{1}{119} \).