ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1449 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Два плиточника облицевали стену за 4 ч. Первому плиточнику для облицовки \(\frac{1}{3}\) стены понадобилось бы на 1 ч больше, чем второму для облицовки \(0.5\) стены. За сколько часов каждый из них может облицевать стену?
Зададим переменные:
\( x \) ч — потребуется первому;
\( y \) ч — потребуется второму;
1) Из первого уравнения:
\( \frac{1}{3}x = 0.5y + 1, \quad x = 1.5y + 3; \)
2) Из второго уравнения:
\( \frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 1, \quad 4y + 4x = xy; \)
\( 4y + 4(1.5y + 3) = y(1.5y + 3); \)
\( 4y + 6y + 12 = 1.5y^2 + 3y; \)
\( 1.5y^2 — 7y — 12 = 0; \)
\( D = 14^2 + 4 \cdot 3 \cdot 24 = 196 + 288 = 484, \text{ тогда:} \)
\( y_1 = \frac{14 — 22}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{14 + 22}{2 \cdot 3} = 6; \)
\( x_1 = -\frac{4}{3} \cdot 1.5 + 3 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = 9 + 3 = 12; \)
Ответ: 12 ч и 6 ч.
Задача: Два плиточника облицевали стену за 4 часа. Известно, что первому для облицовки \( \frac{1}{3} \) стены нужно на 1 час больше, чем второму для облицовки половины стены. Найдите, за сколько часов каждый из них может облицевать всю стену, работая по отдельности.
Шаг 1: Введём обозначения:
\( x \) — время (в часах), за которое первый плиточник облицовывает всю стену сам;
\( y \) — время (в часах), за которое второй плиточник облицовывает всю стену сам.
Шаг 2: Переведём условие: «первому для облицовки \( \frac{1}{3} \) стены нужно на 1 час больше, чем второму для облицовки \( 0.5 \) стены» в уравнение.
Первый: за 1 час облицовывает \( \frac{1}{x} \) стены, значит
для \( \frac{1}{3} \) стены ему потребуется:
\[
\frac{1}{3}x \text{ часов}
\]
Второй: за 1 час облицовывает \( \frac{1}{y} \) стены, значит
для \( 0.5 \) стены ему потребуется:
\[
0.5y \text{ часов}
\]
По условию:
\[
\frac{1}{3}x = 0.5y + 1
\]
Умножим обе части на 3:
\[
x = 1.5y + 3 \tag{1}
\]
Шаг 3: Переведём условие: «вместе они облицевали стену за 4 часа» в уравнение.
За 1 час они совместно облицовывают:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \text{ части стены}
\]
За 4 часа они облицуют:
\[
4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1
\Rightarrow \frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 1 \tag{2}
\]
Шаг 4: Подставим выражение из уравнения (1) в уравнение (2):
Вместо \( x \) подставим \( 1.5y + 3 \):
\[
\frac{4}{1.5y + 3} + \frac{4}{y} = 1
\]
Шаг 5: Умножим обе части на общий знаменатель \( y(1.5y + 3) \), чтобы избавиться от дробей:
\[
4y + 4(1.5y + 3) = y(1.5y + 3)
\]
Шаг 6: Раскроем скобки и упростим:
Левая часть:
\[
4y + 6y + 12 = 10y + 12
\]
Правая часть:
\[
y(1.5y + 3) = 1.5y^2 + 3y
\]
Составим уравнение:
\[
1.5y^2 + 3y = 10y + 12 \Rightarrow 1.5y^2 — 7y — 12 = 0
\]
Шаг 7: Умножим на 2 для устранения дробей:
\[
3y^2 — 14y — 24 = 0
\]
Шаг 8: Найдём дискриминант:
\[
D = (-14)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-24) = 196 + 288 = 484
\]
\[
y = \frac{14 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 22}{6}
\]
Первый корень:
\[
y_1 = \frac{14 + 22}{6} = \frac{36}{6} = 6
\]
Второй корень:
\[
y_2 = \frac{14 — 22}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \quad \text{(не подходит)}
\]
Шаг 9: Подставим \( y = 6 \) в уравнение (1), чтобы найти \( x \):
\[
x = 1.5 \cdot 6 + 3 = 9 + 3 = 12
\]
Ответ:
Первый плиточник может облицевать всю стену за 12 часов.
Второй плиточник — за 6 часов.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.