ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1448 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Корнями уравнения \( x^2 + ax + 2 = 0 \) являются числа \( x_1 \) и \( x_2 \),

а корнями уравнения \( x^2 + bx + 32 = 0 \) являются числа \( x_3 \) и \( x_4 \).

Известно, что \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) образуют геометрическую прогрессию.

Шаг 1: Обозначим члены геометрической прогрессии:

\[
x_1 = a_1, \quad
x_2 = a_1 q, \quad
x_3 = a_1 q^2, \quad
x_4 = a_1 q^3
\]

Тогда:
\[
x_1 + x_2 = a_1 (1 + q), \quad
x_1 \cdot x_2 = a_1 \cdot a_1 q = a_1^2 q
\]

По теореме Виета: для первого уравнения \( x^2 + ax + 2 = 0 \):

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -a \Rightarrow -a = a_1(1 + q) \Rightarrow a = -a_1(1 + q) \)
• Произведение корней: \( x_1 x_2 = 2 \Rightarrow a_1^2 q = 2 \Rightarrow a_1 = \pm \sqrt{\frac{2}{q}} \)

Шаг 2: Аналогично, для второго уравнения \( x^2 + bx + 32 = 0 \):

\[
x_3 = a_1 q^2, \quad
x_4 = a_1 q^3
\]

Сумма: \( x_3 + x_4 = a_1 q^2(1 + q) = -b \Rightarrow b = -a_1 q^2 (1 + q) \)

Произведение: \( x_3 x_4 = a_1^2 q^5 = 32 \Rightarrow a_1^2 q^5 = 32 \)

Шаг 3: Разделим уравнения произведений корней:

• Из первого уравнения: \( a_1^2 q = 2 \)
• Из второго: \( a_1^2 q^5 = 32 \)

Разделим:
\[
\frac{a_1^2 q}{a_1^2 q^5} = \frac{2}{32} \Rightarrow \frac{1}{q^4} = \frac{1}{16} \Rightarrow q^4 = 16 \Rightarrow q = \pm 2
\]

Шаг 4: Подставим \( q = 2 \) в выражение \( a_1^2 q = 2 \):

\[
a_1^2 \cdot 2 = 2 \Rightarrow a_1^2 = 1 \Rightarrow a_1 = \pm 1
\]

Шаг 5: Найдём значения \( a \) и \( b \):

\( a = -a_1(1 + q) = -a_1(1 + 2) = -3a_1 \Rightarrow a = \pm 3 \)

\( b = -a_1 q^2 (1 + q) = -a_1 \cdot 4 \cdot 3 = -12a_1 \Rightarrow b = \pm 12 \)

Ответ: возможны два варианта:

• Если \( a_1 = 1 \): \( a = -3, \, b = -12 \)
• Если \( a_1 = -1 \): \( a = 3, \, b = 12 \)

Итоговый ответ: \( a = \pm 3, \quad b = \pm 12 \)