ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1445 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Найдём наибольшее и наименьшее значения выражения:

\( \sqrt{3} \cos \beta — \sin \beta \)

Шаг 1: Представим выражение в виде линейной комбинации синуса и косинуса:

\[
\sqrt{3} \cos \beta — \sin \beta = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \beta — \frac{1}{2} \sin \beta \right)
\]

Заметим, что:
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6}, \quad \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6} \)

Тогда:
\[
= 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} \cos \beta — \sin \frac{\pi}{6} \sin \beta \right)
= 2 \cos\left( \beta + \frac{\pi}{6} \right)
\]

Значения косинуса лежат в пределах от \(-1\) до \(1\), значит:
\[
-2 \le 2 \cos\left( \beta + \frac{\pi}{6} \right) \le 2
\]

Ответ: наименьшее значение: \(-2\); наибольшее значение: \(2\)

б) Найдём наибольшее и наименьшее значения выражения:

\( \sin \alpha — \cos \alpha \)

Шаг 1: Вынесем множитель \( \sqrt{2} \):

\[
\sin \alpha — \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha — \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right)
\]

\( \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} \), следовательно:
\[
= \sqrt{2} \left( \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} — \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} \right)
= \sqrt{2} \sin\left( \alpha — \frac{\pi}{4} \right)
\]

Значит:
\[
-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin\left( \alpha — \frac{\pi}{4} \right) \le \sqrt{2}
\]

Ответ: наименьшее значение: \(-\sqrt{2}\); наибольшее значение: \( \sqrt{2} \)

в) Найдём наибольшее и наименьшее значения выражения:

\( \sin \alpha + \cos \alpha \)

Шаг 1: Вынесем множитель \( \sqrt{2} \):

\[
\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right)
\]

\[
= \sqrt{2} \left( \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} \right)
= \sqrt{2} \sin\left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right)
\]

Значит:
\[
-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin\left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) \le \sqrt{2}
\]

Ответ: наименьшее значение: \(-\sqrt{2}\); наибольшее значение: \( \sqrt{2} \)

г) Найдём наибольшее и наименьшее значения выражения:

\( \sin \beta — \sqrt{3} \cos \beta \)

Шаг 1: Вынесем множитель 2:

\[
\sin \beta — \sqrt{3} \cos \beta = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \beta — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \beta \right)
\]

Заметим:
\( \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{\pi}{3} \), тогда:
\[
= 2 \left( \sin \beta \cos \frac{\pi}{3} — \cos \beta \sin \frac{\pi}{3} \right)
= 2 \sin\left( \beta — \frac{\pi}{3} \right)
\]

Тогда:
\[
-2 \le 2 \sin\left( \beta — \frac{\pi}{3} \right) \le 2
\]

Ответ: наименьшее значение: \(-2\); наибольшее значение: \( 2 \)