ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1444 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Упростим выражение:

\( (\tan \alpha — 1) \cdot \tan \beta + (\tan \alpha + \tan \beta) \cdot \cot(\alpha + \beta) \)

Шаг 1: Раскроем скобки в первом произведении:

\( (\tan \alpha — 1) \cdot \tan \beta = \tan \alpha \cdot \tan \beta — \tan \beta \)

Шаг 2: Используем формулу для котангенса суммы:

\( \cot(\alpha + \beta) = \frac{1}{\tan(\alpha + \beta)} = \frac{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta} \)

Тогда второе слагаемое:
\[
(\tan \alpha + \tan \beta) \cdot \frac{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta} = 1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta
\]

Шаг 3: Складываем два выражения:

\[
(\tan \alpha \cdot \tan \beta — \tan \beta) + (1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta)
\]

Упрощаем:
\[
\tan \alpha \cdot \tan \beta — \tan \beta + 1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta = 1 — \tan \beta
\]

Ответ: \( 1 — \tan \beta \)

б) Упростим выражение:

\[
\frac{\tan(\alpha + \beta) — (\tan \alpha + \tan \beta)}{\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan(\alpha + \beta)} — 1
\]

Шаг 1: Подставим формулу суммы тангенсов:

\[
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}
\]

Подставим в числитель:
\[
\frac{\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} — (\tan \alpha + \tan \beta)}{\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}} — 1
\]

Шаг 2: Приведём числитель к общему знаменателю:

\[
\frac{(\tan \alpha + \tan \beta) \left( \frac{1}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} — 1 \right)}{\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}} — 1
\]

Выражение в скобках:
\[
\frac{1 — (1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta)}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} = \frac{\tan \alpha \cdot \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}
\]

Значит, весь числитель:
\[
(\tan \alpha + \tan \beta) \cdot \frac{\tan \alpha \cdot \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}
\]

А знаменатель:
\[
\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}
\]

Сокращаем одинаковые множители:
\[
\frac{(\tan \alpha + \tan \beta) \cdot \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot (\tan \alpha + \tan \beta)} = 1
\]

Тогда всё выражение:
\[
1 — 1 = 0
\]

Ответ: 0