ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1443 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Дано: Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — углы первой четверти, то есть:

\( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, \quad 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \)

а) Докажем, что:

\( \sin(\alpha + \beta) < \sin \alpha + \sin \beta \)

Используем формулу суммы синусов:
\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\]

Тогда сравниваем:
\[
\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta < \sin \alpha + \sin \beta
\]

Перенесём правую часть влево:
\[
\sin \alpha (\cos \beta — 1) + \sin \beta (\cos \alpha — 1) < 0
\]

Так как в первой четверти:
\( 0 < \cos \alpha < 1, \quad 0 < \cos \beta < 1 \),
то:
\[
\cos \beta — 1 < 0, \quad \cos \alpha — 1 < 0
\]

А \( \sin \alpha > 0 \), \( \sin \beta > 0 \), следовательно, обе части выражения — отрицательные.
Значит, сумма отрицательных чисел даёт отрицательное число.

Вывод: неравенство доказано.

б) Докажем, что:

\( \sin(\alpha + \beta) < \cos \alpha + \cos \beta \)

Используем формулу:
\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\]

Тогда:
\[
\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta < \cos \alpha + \cos \beta
\]

Переносим правую часть:
\[
\cos \alpha (\sin \beta — 1) + \cos \beta (\sin \alpha — 1) < 0
\]

Поскольку \( 0 < \sin \alpha, \sin \beta < 1 \), то \( \sin \alpha — 1 < 0 \), \( \sin \beta — 1 < 0 \)

А также \( \cos \alpha > 0, \cos \beta > 0 \), значит, каждая из скобок отрицательна.
Сумма отрицательных выражений даёт отрицательное число.

Вывод: неравенство доказано.

в) Докажем, что:

\( \cos(\alpha — \beta) < \cos \alpha + \sin \beta \)

Используем формулу:
\[
\cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\]

Сравним:
\[
\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta < \cos \alpha + \sin \beta
\]

Переносим:
\[
\cos \alpha (\cos \beta — 1) + \sin \beta (\sin \alpha — 1) < 0
\]

В первой четверти:
\( \cos \beta — 1 < 0 \), \( \sin \alpha — 1 < 0 \), а множители положительны.
Значит, сумма отрицательных выражений — отрицательна.

Вывод: неравенство доказано.

г) Проверим, верно ли:

\( \tan(\alpha + \beta) > \tan \alpha + \tan \beta \)

Напомним формулу:
\[
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}
\]

Числитель тот же, но знаменатель:
\( 1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta \)

Если \( \tan \alpha \cdot \tan \beta < 1 \), то знаменатель положителен и меньше 1,
значит вся дробь больше суммы тангенсов.

Но если \( \tan \alpha \cdot \tan \beta > 1 \), то знаменатель становится отрицательным,
и вся дробь — отрицательная, в отличие от положительной суммы тангенсов.

Пример: \( \alpha = 45^\circ, \ \beta = 60^\circ \)

\( \tan \alpha = 1, \ \tan \beta = \sqrt{3} \approx 1.732 \Rightarrow \tan \alpha + \tan \beta \approx 2.732 \)

\( \tan(\alpha + \beta) = \tan 105^\circ \approx -3.732 \)

Получаем:
\( \tan(\alpha + \beta) < \tan \alpha + \tan \beta \)

Вывод: неравенство неверно при \( \alpha + \beta > 90^\circ \), следовательно, утверждение не является тождественно верным.