ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1442 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Докажем тождество:

\( \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha — \tan \beta} — \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha — \beta)} + \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} = \cot \alpha + \cot \beta \)

Шаг 1: Преобразуем первую дробь.

\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \)

Значит,
\[
\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha — \tan \beta}
=
\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} — \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}
=
\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \beta — \sin \beta \cos \alpha}
\]

Шаг 2: Преобразуем вторую дробь.

Используем формулу:
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)

\( \sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta \)

Тогда:
\[
\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha — \beta)}
=
\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta}
=
\frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \beta — \sin \beta \cos \alpha}
\]

Шаг 3: Видим, что первая дробь и вторая дробь совпадают по структуре:

Значит, их разность равна нулю:
\[
\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha — \tan \beta} — \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha — \beta)} = 0
\]

Шаг 4: Осталось рассмотреть третье слагаемое:

\[
\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}
\]

Раскроем числитель:
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)

Поделим каждый член на знаменатель:
\[
\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta}
=
\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta}
=
\frac{\cos \beta}{\sin \beta} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\]

Это и есть:
\( \cot \beta + \cot \alpha \)

Итак, левая часть выражения равна правой:
\[
cot а + \cot \beta + \cot \alpha = \cot \alpha + \cot \beta
\]

Тождество доказано.

б) Докажем тождество:

\[
\frac{\sin(\alpha — \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} + \frac{\sin(\beta — \gamma)}{\sin \beta \sin \gamma} + \frac{\sin(\gamma — \alpha)}{\sin \gamma \sin \alpha} = 0
\]

Шаг 1: Применим формулу:
\[
\sin(x — y) = \sin x \cos y — \cos x \sin y
\]

Перепишем каждую дробь:

\[
\frac{\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta} +\]

\[\frac{\sin \beta \cos \gamma — \cos \beta \sin \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}+\]

\[\frac{\sin \gamma \cos \alpha — \cos \gamma \sin \alpha}{\sin \gamma \sin \alpha}
\]

Шаг 2: Разделим каждую дробь на две части:

\[
\left(
\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}
— \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta}
\right)+\]

\[\left(
\frac{\sin \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}
— \frac{\cos \beta \sin \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}
\right)+\]

\[\left(
\frac{\sin \gamma \cos \alpha}{\sin \gamma \sin \alpha}
— \frac{\cos \gamma \sin \alpha}{\sin \gamma \sin \alpha}
\right)
\]

Упрощаем:
\[
\frac{\cos \beta}{\sin \beta} — \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
+
\frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} — \frac{\cos \beta}{\sin \beta}
+
\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma}
\]

Все слагаемые взаимно уничтожаются:

\( -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 0 \),
\( \frac{\cos \beta}{\sin \beta} — \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = 0 \),
\( \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} — \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} = 0 \)

Ответ: 0. Тождество доказано.