ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1441 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Выразите \( \cot(\alpha + \beta) \) и \( \cot(\alpha — \beta) \) через \( \cot \alpha \) и \( \cot \beta \).

1) Выразим \( \cot(\alpha + \beta) \):

По определению:
\( \cot(\alpha + \beta) = \frac{1}{\tan(\alpha + \beta)} \)

Используем формулу суммы тангенсов:
\( \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} \)

Тогда:
\( \cot(\alpha + \beta) = \frac{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta} \)

Теперь выразим тангенсы через котангенсы:

\( \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}, \quad \tan \beta = \frac{1}{\cot \beta} \)

Подставим в выражение:

\( \cot(\alpha + \beta) = \frac{1 — \frac{1}{\cot \alpha \cdot \cot \beta}}{\frac{1}{\cot \alpha} + \frac{1}{\cot \beta}} \)

Преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: \( 1 — \frac{1}{\cot \alpha \cdot \cot \beta} = \frac{\cot \alpha \cot \beta — 1}{\cot \alpha \cot \beta} \)

Знаменатель: \( \frac{1}{\cot \alpha} + \frac{1}{\cot \beta} = \frac{\cot \beta + \cot \alpha}{\cot \alpha \cot \beta} \)

Делим числитель на знаменатель (домножаем на обратную дробь):

\( \cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta — 1}{\cot \beta + \cot \alpha} \)

Ответ: \( \cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta — 1}{\cot \alpha + \cot \beta} \)

2) Выразим \( \cot(\alpha — \beta) \):

По определению:
\( \cot(\alpha — \beta) = \frac{1}{\tan(\alpha — \beta)} \)

Формула разности тангенсов:
\( \tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan \alpha — \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta} \)

Тогда:
\( \cot(\alpha — \beta) = \frac{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha — \tan \beta} \)

Выразим через котангенсы:
\( \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}, \quad \tan \beta = \frac{1}{\cot \beta} \)

Подставим:
\( \cot(\alpha — \beta) = \frac{1 + \frac{1}{\cot \alpha \cdot \cot \beta}}{\frac{1}{\cot \alpha} — \frac{1}{\cot \beta}} \)

Числитель:
\( 1 + \frac{1}{\cot \alpha \cdot \cot \beta} = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \alpha \cot \beta} \)

Знаменатель:
\( \frac{1}{\cot \alpha} — \frac{1}{\cot \beta} = \frac{\cot \beta — \cot \alpha}{\cot \alpha \cot \beta} \)

Делим числитель на знаменатель:

\( \cot(\alpha — \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta — \cot \alpha} \)

Ответ: \( \cot(\alpha — \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta — \cot \alpha} \)