ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1440 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение:
а) \( \tan(45^\circ + \alpha) \tan(45^\circ — \alpha); \)
б) \( \tan(\alpha + 60^\circ) \tan(\alpha — 60^\circ); \)
в) \( \frac{1 — \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} — \tan(45^\circ — \alpha); \)
г) \( \tan(45^\circ + \alpha) + \frac{1 — \tan \alpha}{1 + \tan \alpha}. \)
Преобразовать выражение:
а) \( \tan(45^\circ + a) \tan(45^\circ — a) = \)
\( = \frac{\tan 45^\circ + \tan a}{1 — \tan 45^\circ \tan a} \cdot \frac{\tan 45^\circ — \tan a}{1 + \tan 45^\circ \tan a} = \)
\( = \frac{1 + \tan a}{1 — \tan a} \cdot \frac{1 — \tan a}{1 + \tan a} = 1; \)
б) \( \tan(a + 60^\circ) \tan(a — 60^\circ) = \)
\( = \frac{\tan a + \tan 60^\circ}{1 — \tan a \tan 60^\circ} \cdot \frac{\tan a — \tan 60^\circ}{1 + \tan a \tan 60^\circ} = \)
\( = \frac{\tan a + \sqrt{3}}{1 — \sqrt{3} \tan a} \cdot \frac{\tan a — \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} \tan a} = \frac{\tan^2 a — 3}{1 — 3 \tan^2 a}; \)
в) \( \frac{1 — \tan a}{1 + \tan a} — \tan(45^\circ — a) = \)
\( = \frac{\tan 45^\circ — \tan a}{1 + \tan 45^\circ \cdot \tan a} — \tan(45^\circ — a) = \)
\( = \tan(45^\circ — a) — \tan(45^\circ — a) = 0; \)
г) \( \tan(45^\circ + a) + \frac{1 — \tan a}{1 + \tan a} = \)
\( = \frac{\tan 45^\circ + \tan a}{1 — \tan 45^\circ \tan a} + \frac{1 — \tan a}{1 + \tan a} = \frac{1 + \tan a}{1 — \tan a} + \frac{1 — \tan a}{1 + \tan a} = \)
\( = \frac{1 + 2 \tan a + \tan^2 a + 1 — 2 \tan a + \tan^2 a}{1 — \tan^2 a} = \frac{2(1 + \tan^2 a)}{1 — \tan^2 a}; \)
а) Преобразуем выражение:
\( \tan(45^\circ + \alpha) \cdot \tan(45^\circ — \alpha) \)
Используем формулу суммы и разности тангенсов:
\( \tan(45^\circ + \alpha) = \frac{\tan 45^\circ + \tan \alpha}{1 — \tan 45^\circ \cdot \tan \alpha} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 — \tan \alpha} \)
\( \tan(45^\circ — \alpha) = \frac{\tan 45^\circ — \tan \alpha}{1 + \tan 45^\circ \cdot \tan \alpha} = \frac{1 — \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} \)
Перемножим:
\( \frac{1 + \tan \alpha}{1 — \tan \alpha} \cdot \frac{1 — \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} \)
Сокращаем:
\( = 1 \)
Ответ: 1
б) Преобразуем выражение:
\( \tan(\alpha + 60^\circ) \cdot \tan(\alpha — 60^\circ) \)
Используем формулы:
\( \tan(\alpha + 60^\circ) = \frac{\tan \alpha + \sqrt{3}}{1 — \tan \alpha \cdot \sqrt{3}} \)
\( \tan(\alpha — 60^\circ) = \frac{\tan \alpha — \sqrt{3}}{1 + \tan \alpha \cdot \sqrt{3}} \)
Перемножим:
\( \frac{(\tan \alpha + \sqrt{3})(\tan \alpha — \sqrt{3})}{(1 — \sqrt{3} \cdot \tan \alpha)(1 + \sqrt{3} \cdot \tan \alpha)} \)
В числителе — разность квадратов:
\( \tan^2 \alpha — 3 \)
В знаменателе:
\( 1 — 3 \tan^2 \alpha \)
Итак, выражение становится:
\( \frac{\tan^2 \alpha — 3}{1 — 3 \tan^2 \alpha} \)
Ответ: \( \frac{\tan^2 \alpha — 3}{1 — 3 \tan^2 \alpha} \)
в) Преобразуем выражение:
\( \frac{1 — \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} — \tan(45^\circ — \alpha) \)
Представим первую дробь как:
\( \frac{\tan 45^\circ — \tan \alpha}{1 + \tan 45^\circ \cdot \tan \alpha} = \tan(45^\circ — \alpha) \)
Таким образом:
\( \frac{1 — \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} = \tan(45^\circ — \alpha) \)
Тогда всё выражение:
\( \tan(45^\circ — \alpha) — \tan(45^\circ — \alpha) = 0 \)
Ответ: 0
г) Преобразуем выражение:
\( \tan(45^\circ + \alpha) + \frac{1 — \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} \)
Сначала найдём \( \tan(45^\circ + \alpha) \):
\( \frac{1 + \tan \alpha}{1 — \tan \alpha} \)
Второй слагаемый — это:
\( \frac{1 — \tan \alpha}{1 + \tan \alpha} \)
Приведём к общему знаменателю:
Общий знаменатель: \( (1 — \tan \alpha)(1 + \tan \alpha) = 1 — \tan^2 \alpha \)
Первый дробь:
\( \frac{(1 + \tan \alpha)^2}{1 — \tan^2 \alpha} = \frac{1 + 2 \tan \alpha + \tan^2 \alpha}{1 — \tan^2 \alpha} \)
Вторая дробь:
\( \frac{(1 — \tan \alpha)^2}{1 — \tan^2 \alpha} = \frac{1 — 2 \tan \alpha + \tan^2 \alpha}{1 — \tan^2 \alpha} \)
Складываем:
\( \frac{1 + 2 \tan \alpha + \tan^2 \alpha + 1 — 2 \tan \alpha + \tan^2 \alpha}{1 — \tan^2 \alpha} \)
В числителе:
\( 1 + 1 + \tan^2 \alpha + \tan^2 \alpha = 2(1 + \tan^2 \alpha) \)
Получаем:
\( \frac{2(1 + \tan^2 \alpha)}{1 — \tan^2 \alpha} \)
Ответ: \( \frac{2(1 + \tan^2 \alpha)}{1 — \tan^2 \alpha} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.