ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1438 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Найдём значение выражения:

\( \frac{\tan 20^\circ + \tan 25^\circ}{1 — \tan 20^\circ \cdot \tan 25^\circ} \)

Это выражение совпадает с формулой приведения суммы тангенсов:

\( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 — \tan A \cdot \tan B} \)

В данном случае \( A = 20^\circ \), \( B = 25^\circ \), поэтому:

\( \frac{\tan 20^\circ + \tan 25^\circ}{1 — \tan 20^\circ \cdot \tan 25^\circ} = \tan(20^\circ + 25^\circ) = \tan 45^\circ \)

А поскольку \( \tan 45^\circ = 1 \), то:

Ответ: 1

б) Найдём значение выражения:

\( \frac{\tan 70^\circ — \tan 10^\circ}{1 + \tan 70^\circ \cdot \tan 10^\circ} \)

Это выражение соответствует формуле тангенса разности углов:

\( \tan(A — B) = \frac{\tan A — \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} \)

Подставим \( A = 70^\circ \), \( B = 10^\circ \). Тогда:

\( \frac{\tan 70^\circ — \tan 10^\circ}{1 + \tan 70^\circ \cdot \tan 10^\circ} = \tan(70^\circ — 10^\circ) = \tan 60^\circ \)

А так как \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \), получаем:

Ответ: \( \sqrt{3} \)

в) Найдём значение выражения:

\( \frac{\tan \frac{7\pi}{24} — \tan \frac{\pi}{8}}{1 + \tan \frac{7\pi}{24} \cdot \tan \frac{\pi}{8}} \)

Снова воспользуемся формулой:
\( \tan(A — B) = \frac{\tan A — \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} \)

Здесь \( A = \frac{7\pi}{24} \), \( B = \frac{\pi}{8} \).
Приведём \( B \) к знаменателю 24:
\( \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{24} \)

Тогда:
\( \frac{7\pi}{24} — \frac{3\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6} \)

Таким образом:
\( \frac{\tan \frac{7\pi}{24} — \tan \frac{\pi}{8}}{1 + \tan \frac{7\pi}{24} \cdot \tan \frac{\pi}{8}} = \tan \left( \frac{\pi}{6} \right) \)

А \( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

г) Найдём значение выражения:

\( \frac{\tan \frac{\pi}{20} + \tan \frac{\pi}{5}}{1 — \tan \frac{\pi}{20} \cdot \tan \frac{\pi}{5}} \)

Это выражение соответствует формуле:
\( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 — \tan A \cdot \tan B} \)

Подставим значения:
\( A = \frac{\pi}{20} \), \( B = \frac{\pi}{5} \)

Приведем к общему знаменателю:
\( \frac{\pi}{5} = \frac{4\pi}{20} \)

Тогда:
\( \frac{\pi}{20} + \frac{4\pi}{20} = \frac{5\pi}{20} = \frac{\pi}{4} \)

Следовательно:
\( \frac{\tan \frac{\pi}{20} + \tan \frac{\pi}{5}}{1 — \tan \frac{\pi}{20} \cdot \tan \frac{\pi}{5}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 \)

Ответ: 1