ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1437 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество:
а) \( \frac{\tan(\alpha + \beta) — \tan \alpha — \tan \beta}{\tan \alpha \cdot \tan(\alpha + \beta)} = \tan \beta; \)
б) \( \tan(\alpha — \beta) + \tan \alpha \tan \beta \tan(\alpha — \beta) = \tan \alpha — \tan \beta. \)
Доказать тождество:
а) \( \frac{\tan(a + \beta) — \tan a — \tan \beta}{\tan a \cdot \tan(a + \beta)} = \tan \beta; \)
\( \frac{\frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \cdot \tan \beta} — \tan a — \tan \beta}{\tan a \cdot \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \cdot \tan \beta}} = \tan \beta; \)
\( \frac{1 — \tan a + \tan a \tan \beta}{\tan a} = \tan \beta, \quad \frac{\tan a \tan \beta}{\tan a} = \tan \beta; \)
Тождество доказано.
б) \( \tan(a — \beta) + \tan a \tan \beta \tan(a — \beta) = \tan a — \tan \beta; \)
\( \tan(a — \beta) \cdot (1 + \tan a \tan \beta) = \tan a — \tan \beta; \)
\( \frac{\tan a — \tan \beta}{1 + \tan a \tan \beta} \cdot (1 + \tan a \tan \beta) = \tan a — \tan \beta; \)
Тождество доказано.
а) Докажем тождество:
\( \frac{\tan(\alpha + \beta) — \tan \alpha — \tan \beta}{\tan \alpha \cdot \tan(\alpha + \beta)} = \tan \beta \)
Используем формулу для суммы тангенсов:
\( \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} \)
Подставим эту формулу в числитель левой части:
\( \frac{\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} — \tan \alpha — \tan \beta}{\tan \alpha \cdot \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}} \)
Приведем числитель к общему знаменателю:
\( \frac{\frac{\tan \alpha + \tan \beta — (1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta)(\tan \alpha + \tan \beta)}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}}{\tan \alpha \cdot \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta}} \)
Раскрываем скобки в числителе:
\( = \frac{ \frac{ \tan \alpha + \tan \beta — (\tan \alpha + \tan \beta) + \tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot (\tan \alpha + \tan \beta) }{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} }{ \tan \alpha \cdot \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} } \)
Сокращаются \( \tan \alpha + \tan \beta \), и остается:
\( = \frac{ \frac{ \tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot (\tan \alpha + \tan \beta) }{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} }{ \tan \alpha \cdot \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} } \)
Сокращаем дробь:
\( = \frac{ \tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot (\tan \alpha + \tan \beta) }{ \tan \alpha \cdot (\tan \alpha + \tan \beta) } \)
Сокращаем одинаковые множители:
\( = \frac{ \tan \alpha\tan \beta }{ \tan \alpha } = \tan \beta \)
Тождество доказано.
б) Докажем тождество:
\( \tan(\alpha — \beta) + \tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan(\alpha — \beta) = \tan \alpha — \tan \beta \)
Вынесем \( \tan(\alpha — \beta) \) за скобки:
\( \tan(\alpha — \beta) \cdot (1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta) = \tan \alpha — \tan \beta \)
Используем формулу разности тангенсов:
\( \tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan \alpha — \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta} \)
Подставим в выражение:
\( \frac{\tan \alpha — \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta} \cdot (1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta) \)
Сокращаем множители:
\( = \tan \alpha — \tan \beta \)
Тождество доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.