ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1436 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \tan(\alpha + \beta) — \tan \alpha \tan \beta \tan(\alpha + \beta); \)
б) \( \tan(\alpha + \beta) \tan(\alpha — \beta)(1 — \tan^2 \alpha \tan^2 \beta). \)
Упростить выражение:
а) \( \tan(a + \beta) — \tan a \tan \beta \tan(a + \beta) = \)
\( = \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \cdot \tan \beta} — \tan a \tan \beta \cdot \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \cdot \tan \beta} = \)
\( = \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \cdot \tan \beta} \cdot (1 — \tan a \cdot \tan \beta) = \tan a + \tan \beta; \)
б) \( \tan(a + \beta) \tan(a — \beta)(1 — \tan^2 a \tan^2 \beta) = \)
\( = \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \cdot \tan \beta} \cdot \frac{\tan a — \tan \beta}{1 + \tan a \cdot \tan \beta} \cdot (1 — \tan^2 a \tan^2 \beta) = \)
\( = \frac{\tan^2 a — \tan^2 \beta}{1 — \tan^2 a \tan^2 \beta} \cdot (1 — \tan^2 a \tan^2 \beta) = \tan^2 a — \tan^2 \beta; \)
а) Упростим выражение:
\( \tan(\alpha + \beta) — \tan \alpha \tan \beta \tan(\alpha + \beta) \)
Используем формулу для суммы тангенсов:
\( \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} \)
Подставим это в исходное выражение:
\( = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} — \tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} \)
Вынесем общий множитель:
\( \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} \)
\( = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} \cdot \left(1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta\right) \)
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:
\( = \tan \alpha + \tan \beta \)
Ответ: \( \tan \alpha + \tan \beta \)
б) Упростим выражение:
\( \tan(\alpha + \beta) \cdot \tan(\alpha — \beta) \cdot \left(1 — \tan^2 \alpha \cdot \tan^2 \beta\right) \)
Используем формулы:
\( \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} \)
\( \tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan \alpha — \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta} \)
Подставим в выражение:
\( = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta} \cdot \frac{\tan \alpha — \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta} \cdot (1 — \tan^2 \alpha \cdot \tan^2 \beta) \)
В числителе произведение:
\( (\tan \alpha + \tan \beta)(\tan \alpha — \tan \beta) = \tan^2 \alpha — \tan^2 \beta \)
В знаменателе:
\( (1 — \tan \alpha \cdot \tan \beta)(1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta) = 1 — \tan^2 \alpha \cdot \tan^2 \beta \)
Тогда всё выражение становится:
\( = \frac{\tan^2 \alpha — \tan^2 \beta}{1 — \tan^2 \alpha \cdot \tan^2 \beta} \cdot (1 — \tan^2 \alpha \cdot \tan^2 \beta) \)
Сокращаем множители:
\( = \tan^2 \alpha — \tan^2 \beta \)
Ответ: \( \tan^2 \alpha — \tan^2 \beta \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.