ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1435 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
а) \( \tan\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right); \)
б) \( \cot\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right); \)
в) \( \cot\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right); \)
г) \( \tan\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right); \)
д) \( \cot\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right). \)
е) \( \cot\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \)
Выразить через функции угла \( a \):
а) \( \tan\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan\alpha}{1 — \tan\frac{\pi}{4} \cdot \tan\alpha} = \frac{1 + \tan\alpha}{1 — \tan\alpha}; \)
б) \( \cot\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \frac{1 + \tan\frac{\pi}{4} \cdot \tan\alpha}{\tan\frac{\pi}{4} — \tan\alpha} = \frac{1 + \tan\alpha}{1 — \tan\alpha}; \)
в) \( \tan\left(\frac{\pi}{3} — \alpha\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{3} — \tan\alpha}{1 + \tan\frac{\pi}{3} \cdot \tan\alpha} = \frac{\sqrt{3} — \tan\alpha}{1 + \sqrt{3}\tan\alpha}; \)
г) \( \cot\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1 — \tan\frac{\pi}{3} \cdot \tan\alpha}{\tan\frac{\pi}{3} + \tan\alpha} = \frac{1 — \sqrt{3}\tan\alpha}{\sqrt{3} + \tan\alpha}; \)
д) \( \tan\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{6} + \tan\alpha}{1 — \tan\frac{\pi}{6} \cdot \tan\alpha} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \tan\alpha}{1 — \frac{1}{\sqrt{3}}\tan\alpha} =\frac{1 + \sqrt{3} \tan a}{\sqrt{3} — \tan a} \)
е) \( \cot\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1 — \tan\frac{\pi}{6} \cdot \tan\alpha}{\tan\frac{\pi}{6} + \tan\alpha} = \frac{1 — \frac{1}{\sqrt{3}}\tan\alpha}{\frac{1}{\sqrt{3}} + \tan\alpha} = \frac{\sqrt{3} — \tan\alpha}{1 + \sqrt{3}\tan\alpha}. \)
Задача: Выразите через функции угла \( \alpha \):
а) \( \tan\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \)
Используем формулу для тангенса суммы углов:
\( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 — \tan A \cdot \tan B} \)
Подставляем \( A = \frac{\pi}{4} \) и \( B = \alpha \):
\( \tan\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{4} + \tan\alpha}{1 — \tan\frac{\pi}{4} \cdot \tan\alpha} \)
Так как \( \tan\frac{\pi}{4} = 1 \), получаем:
\( = \frac{1 + \tan\alpha}{1 — \tan\alpha} \)
Ответ: \( \tan\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \tan\alpha}{1 — \tan\alpha} \)
б) \( \cot\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) \)
Используем формулу для котангенса разности углов:
\( \cot(A — B) = \frac{1 + \tan A \cdot \tan B}{\tan A — \tan B} \)
Подставляем \( A = \frac{\pi}{4} \) и \( B = \alpha \):
\( \cot\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \frac{1 + \tan\frac{\pi}{4} \cdot \tan\alpha}{\tan\frac{\pi}{4} — \tan\alpha} \)
Так как \( \tan\frac{\pi}{4} = 1 \), получаем:
\( = \frac{1 + \tan\alpha}{1 — \tan\alpha} \)
Ответ: \( \cot\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \frac{1 + \tan\alpha}{1 — \tan\alpha} \)
в) \( \tan\left(\frac{\pi}{3} — \alpha\right) \)
Используем формулу для тангенса разности углов:
\( \tan(A — B) = \frac{\tan A — \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} \)
Подставляем \( A = \frac{\pi}{3} \) и \( B = \alpha \):
\( \tan\left(\frac{\pi}{3} — \alpha\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{3} — \tan\alpha}{1 + \tan\frac{\pi}{3} \cdot \tan\alpha} \)
Так как \( \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \), получаем:
\( = \frac{\sqrt{3} — \tan\alpha}{1 + \sqrt{3} \cdot \tan\alpha} \)
Ответ: \( \tan\left(\frac{\pi}{3} — \alpha\right) = \frac{\sqrt{3} — \tan\alpha}{1 + \sqrt{3} \tan\alpha} \)
г) \( \tan\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \)
Используем формулу для тангенса суммы углов:
\( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 — \tan A \cdot \tan B} \)
Подставляем \( A = \frac{\pi}{6} \) и \( B = \alpha \):
\( \tan\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{6} + \tan\alpha}{1 — \tan\frac{\pi}{6} \cdot \tan\alpha} \)
Так как \( \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), получаем:
\( = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \tan\alpha}{1 — \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan\alpha} \)
Умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):
\( = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}\tan\alpha}{\sqrt{3} — \tan\alpha} \)
Ответ: \( \frac{1 + \sqrt{3} \tan a}{\sqrt{3} — \tan a}\)
е) \( \cot\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \)
Используем формулу для котангенса суммы углов:
\( \cot(A + B) = \frac{1 — \tan A \cdot \tan B}{\tan A + \tan B} \)
Подставляем \( A = \frac{\pi}{6} \) и \( B = \alpha \):
\( \cot\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1 — \tan\frac{\pi}{6} \cdot \tan\alpha}{\tan\frac{\pi}{6} + \tan\alpha} \)
Так как \( \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), получаем:
\( = \frac{1 — \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \tan\alpha}{\frac{1}{\sqrt{3}} + \tan\alpha} \)
Умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):
\( = \frac{\sqrt{3} — \tan\alpha}{1 + \sqrt{3}\tan\alpha} \)
Ответ: \( \cot\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3} — \tan\alpha}{1 + \sqrt{3}\tan\alpha} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.