ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1434 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Используя формулы сложения для тангенса, вычислите:

а) \( \tan 15^\circ \)

Используем формулу для тангенса разности углов:

\( \tan(A — B) = \frac{\tan A — \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} \)

Запишем \( \tan 15^\circ \) как \( \tan(45^\circ — 30^\circ) \):

\( \tan 15^\circ = \frac{\tan 45^\circ — \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ} \)

Подставляем известные значения для \( \tan 45^\circ = 1 \) и \( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \):

\( = \frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \)

Упрощаем числитель и знаменатель:

\( = \frac{3 — \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \)

Теперь умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 3 — \sqrt{3} \):

\( = \frac{(3 — \sqrt{3})(3 — \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 — \sqrt{3})} \)

Используем формулу разности квадратов для знаменателя:

\( (3 + \sqrt{3})(3 — \sqrt{3}) = 9 — 3 = 6 \)

В числителе разворачиваем скобки:

\( = \frac{9 — 6\sqrt{3} + 3}{6} = \frac{12 — 6\sqrt{3}}{6} = 2 — \sqrt{3} \)

Ответ: \( \tan 15^\circ = 2 — \sqrt{3} \)

б) \( \tan 75^\circ \)

Используем формулу для тангенса суммы углов:

\( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 — \tan A \cdot \tan B} \)

Запишем \( \tan 75^\circ \) как \( \tan(45^\circ + 30^\circ) \):

\( \tan 75^\circ = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 — \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ} \)

Подставляем известные значения для \( \tan 45^\circ = 1 \) и \( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \):

\( = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 — 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \)

Упрощаем числитель и знаменатель:

\( = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 — \sqrt{3}} \)

Теперь умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 3 + \sqrt{3} \):

\( = \frac{(3 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 — \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} \)

Используем формулу разности квадратов для знаменателя:

\( (3 — \sqrt{3})(3 + \sqrt{3}) = 9 — 3 = 6 \)

В числителе разворачиваем скобки:

\( = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{6} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3} \)

Ответ: \( \tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3} \)

в) \( \tan 105^\circ \)

Используем формулу для тангенса суммы углов:

\( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 — \tan A \cdot \tan B} \)

Запишем \( \tan 105^\circ \) как \( \tan(60^\circ + 45^\circ) \):

\( \tan 105^\circ = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 — \tan 60^\circ \cdot \tan 45^\circ} \)

Подставляем известные значения для \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) и \( \tan 45^\circ = 1 \):

\( = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 — \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 — \sqrt{3}} \)

Теперь умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 1 + \sqrt{3} \):

\( = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 — \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} \)

Используем формулу разности квадратов для знаменателя:

\( (1 — \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1 — 3 = -2 \)

В числителе разворачиваем скобки:

\( = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 — \sqrt{3} \)

Ответ: \( \tan 105^\circ = -2 — \sqrt{3} \)