ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1432 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Выразите \( \sin(\alpha + \beta + \gamma) \) и \( \cos(\alpha + \beta + \gamma) \) через тригонометрические функции углов \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \).
Выразить через углы \( a \), \( \beta \) и \( \gamma \):
1) \( \sin(a + \beta + \gamma) = \sin(a + \beta)\cos\gamma + \sin\gamma\cos(a + \beta) = \)
\( = (\sin a\cos\beta + \sin\beta\cos a)\cos\gamma + \sin\gamma(\cos a\cos\beta — \sin a\sin\beta) = \)
\( = \sin a\cos\beta\cos\gamma + \cos a\sin\beta\cos\gamma + \cos a\cos\beta\sin\gamma — \sin a\sin\beta\sin\gamma; \)
2) \( \cos(a + \beta + \gamma) = \cos(a + \beta)\cos\gamma — \sin(a + \beta)\sin\gamma = \)
\( = (\cos a\cos\beta — \sin a\sin\beta)\cos\gamma — (\sin a\cos\beta + \sin\beta\cos a)\sin\gamma = \)
\( = \cos a\cos\beta\cos\gamma — \sin a\sin\beta\cos\gamma — \sin a\cos\beta\sin\gamma — \cos a\sin\beta\sin\gamma. \)
Задача: Выразите \( \sin(\alpha + \beta + \gamma) \) и \( \cos(\alpha + \beta + \gamma) \) через тригонометрические функции углов \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \).
Решение:
1) \( \sin(\alpha + \beta + \gamma) \):
Используем формулу для синуса суммы углов:
\( \sin(A + B + C) = \sin(A + B)\cos C + \cos(A + B)\sin C \)
Запишем \( \sin(\alpha + \beta + \gamma) \) как:
\( \sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin(\alpha + \beta)\cos \gamma + \sin \gamma \cos(\alpha + \beta) \)
Теперь раскроем каждую из частей с помощью формул для синуса и косинуса суммы углов:
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
\( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta \)
Теперь подставим в исходное выражение:
\( \sin(\alpha + \beta + \gamma) = (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha) \cos \gamma +\)
\(\sin \gamma (\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta) \)
Раскроем скобки:
\( = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma — \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \)
Это и есть окончательное выражение для \( \sin(\alpha + \beta + \gamma) \):
Ответ: \( \sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\)
\( \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma — \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \)
2) \( \cos(\alpha + \beta + \gamma) \):
Используем формулу для косинуса суммы углов:
\( \cos(A + B + C) = \cos(A + B)\cos C — \sin(A + B)\sin C \)
Запишем \( \cos(\alpha + \beta + \gamma) \) как:
\( \cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos(\alpha + \beta)\cos \gamma — \sin(\alpha + \beta)\sin \gamma \)
Теперь подставим формулы для синуса и косинуса суммы углов:
\( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta \)
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
Подставляем в исходное выражение:
\( \cos(\alpha + \beta + \gamma) = (\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta) \cos \gamma -\)
\((\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \sin \gamma \)
Раскроем скобки:
\( = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma — \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma — \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma — \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \)
Это и есть окончательное выражение для \( \cos(\alpha + \beta + \gamma) \):
Ответ: \( \cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma — \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\)
\(\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma — \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.