ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1431 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Косинусы двух углов треугольника равны \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{1}{3} \). Найдите косинус третьего угла треугольника.

Дано: Косинусы углов \( \beta \) и \( \gamma \) треугольника:

\( \cos \beta = \frac{2}{3} \), \( \cos \gamma = \frac{1}{3} \)

Шаг 1: Найдем значения синусов для углов \( \beta \) и \( \gamma \). Используем формулы для синуса через косинус:

\( \sin^2 \theta = 1 — \cos^2 \theta \)

1) Для угла \( \beta \):

\( \sin \beta = \sqrt{1 — \cos^2 \beta} = \sqrt{1 — \left( \frac{2}{3} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \)

2) Для угла \( \gamma \):

\( \sin \gamma = \sqrt{1 — \cos^2 \gamma} = \sqrt{1 — \left( \frac{1}{3} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)

Шаг 2: Теперь, используя формулу для косинуса суммы углов, найдем косинус третьего угла \( \alpha \). Известно, что сумма углов треугольника равна \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \), следовательно, \( \alpha = 180^\circ — \beta — \gamma \). Для нахождения \( \cos \alpha \) используем формулу для косинуса суммы углов:

\( \cos(\alpha) = \sin\beta \sin\gamma — \cos\beta \cos\gamma \)

Подставляем значения синусов и косинусов:

\( \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} — \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \)

3) Упростим выражение:

\( \cos \alpha = \frac{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}}{9} — \frac{2}{9} = \frac{2\sqrt{10}}{9} — \frac{2}{9} = \frac{2\sqrt{10} — 2}{9} \)

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{2\sqrt{10} — 2}{9} \)