ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1430 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Синусы двух острых углов треугольника равны \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{4}{5} \). Найдите синус третьего угла треугольника.

Дано: У нас есть два острых угла треугольника с синусами:

\( \sin \beta = \frac{3}{5} \) и \( \sin \gamma = \frac{4}{5} \).

Шаг 1: Найдем косинусы этих углов, так как для нахождения синуса третьего угла \( \alpha \) нам понадобятся также косинусы углов \( \beta \) и \( \gamma \). Для этого используем формулу для косинуса через синус:

\( \cos^2 \theta = 1 — \sin^2 \theta \)

1) Найдем \( \cos \beta \):

\( \cos \beta = \sqrt{1 — \sin^2 \beta} = \sqrt{1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).

2) Теперь найдем \( \cos \gamma \):

\( \cos \gamma = \sqrt{1 — \sin^2 \gamma} = \sqrt{1 — \left( \frac{4}{5} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).

Шаг 2: Теперь, когда у нас есть косинусы углов \( \beta \) и \( \gamma \), можем найти синус третьего угла \( \alpha \). Известно, что сумма углов треугольника равна \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \), следовательно, \( \alpha = 180^\circ — \beta — \gamma \). Мы можем использовать формулы для синусов углов, например, через формулу синуса суммы углов:

\( \sin(\alpha) = \sin(\beta + \gamma) = \sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma \)

Подставляем значения синусов и косинусов:

\( \sin \alpha = \sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma \)

Теперь подставляем известные значения:

\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 \)

Ответ: \( \sin \alpha = 1 \)

Это значит, что третий угол \( \alpha = 90^\circ \), так как \( \sin 90^\circ = 1 \). Это подтверждает, что треугольник прямоугольный, и его третий угол равен \( 90^\circ \).