ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1429 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что если \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \) — углы треугольника, то:
а) \( \sin\alpha = \sin\beta\cos\gamma + \cos\beta\sin\gamma; \)
б) \( \cos\alpha = \sin\beta\sin\gamma — \cos\beta\cos\gamma. \)
\( \alpha, \beta \) и \( \gamma \) — углы треугольника:
\( \alpha + \beta + \gamma = \pi, \quad \beta + \gamma = \pi — \alpha; \)
а) \( \sin\alpha = \sin\beta\cos\gamma + \cos\beta\sin\gamma; \)
\( \sin\alpha = \sin(\beta + \gamma); \)
\( \sin\alpha = \sin(\pi — \alpha); \)
Что и требовалось доказать.
б) \( \cos\alpha = \sin\beta\sin\gamma — \cos\beta\cos\gamma; \)
\( \cos\alpha = -\cos(\beta + \gamma); \)
\( \cos\alpha = -\cos(\pi — \alpha); \)
Что и требовалось доказать.
Задача: Докажите, что если \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \) — углы треугольника, то:
а) \( \sin\alpha = \sin\beta\cos\gamma + \cos\beta\sin\gamma \)
1. Известно, что сумма углов треугольника равна \( \alpha + \beta + \gamma = \pi \), следовательно, \( \beta + \gamma = \pi — \alpha \).
2. Запишем выражение для \( \sin \alpha \):
\( \sin\alpha = \sin(\beta + \gamma) \)
3. Используем формулу для синуса суммы углов:
\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
4. Подставляем \( A = \beta \) и \( B = \gamma \) в эту формулу:
\( \sin(\beta + \gamma) = \sin\beta \cos\gamma + \cos\beta \sin\gamma \)
5. Получаем:
\( \sin\alpha = \sin\beta \cos\gamma + \cos\beta \sin\gamma \)
Ответ: \( \sin\alpha = \sin\beta \cos\gamma + \cos\beta \sin\gamma \)
б) \( \cos\alpha = \sin\beta\sin\gamma — \cos\beta\cos\gamma \)
1. Известно, что сумма углов треугольника равна \( \alpha + \beta + \gamma = \pi \), следовательно, \( \beta + \gamma = \pi — \alpha \).
2. Запишем выражение для \( \cos \alpha \):
\( \cos\alpha = -\cos(\beta + \gamma) \)
3. Используем формулу для косинуса суммы углов:
\( \cos(A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B \)
4. Подставляем \( A = \beta \) и \( B = \gamma \) в эту формулу:
\( \cos(\beta + \gamma) = \cos\beta \cos\gamma — \sin\beta \sin\gamma \)
5. Получаем:
\( \cos\alpha = -(\cos\beta \cos\gamma — \sin\beta \sin\gamma) = \sin\beta \sin\gamma — \cos\beta \cos\gamma \)
Ответ: \( \cos\alpha = \sin\beta \sin\gamma — \cos\beta \cos\gamma \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.