ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1428 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество:
а) \( \cos\alpha\cos(\beta + \gamma) — \cos\beta\cos(\alpha + \gamma) = \sin\gamma\sin(\alpha — \beta); \)
б) \( \sin(\alpha — \beta)\sin\gamma + \sin(\beta — \gamma)\sin\alpha = \sin(\alpha — \gamma)\sin\beta. \)
Доказать тождество:
а) \( \cos a\cos(\beta + \gamma) — \cos\beta\cos(a + \gamma) = \sin\gamma\sin(a — \beta); \)
Левая часть равенства:
\( \cos a\cos(\beta + \gamma) — \cos\beta\cos(a + \gamma) = \)
\( = \cos a(\cos\beta\cos\gamma — \sin\beta\sin\gamma) — \cos\beta(\cos a\cos\gamma — \sin a\sin\gamma) = \)
\( = -\cos a\sin\beta\sin\gamma + \cos\beta\sin a\sin\gamma = \)
\( = \sin\gamma(\sin a\cos\beta — \cos a\sin\beta) = \sin\gamma\sin(a — \beta); \)
Тождество доказано.
б) \( \sin(a — \beta)\sin\gamma + \sin(\beta — \gamma)\sin a = \sin(\alpha — \gamma)\sin\beta; \)
Левая часть равенства:
\( \sin(a — \beta)\sin\gamma + \sin(\beta — \gamma)\sin a = \)
\( = (\sin a\cos\beta — \sin\beta\cos a)\sin\gamma + (\sin\beta\cos\gamma — \sin\gamma\cos\beta)\sin a = \)
\( = -\sin\beta\cos a\sin\gamma + \sin\beta\sin a\cos\gamma = \)
\( = \sin\beta(\sin a\cos\gamma — \sin\gamma\cos a) = \sin\beta\sin(a — \gamma); \)
Тождество доказано.
Задача: Докажите тождество:
а) \( \cos\alpha\cos(\beta + \gamma) — \cos\beta\cos(\alpha + \gamma) = \sin\gamma\sin(\alpha — \beta) \)
1. Раскроем косинусы по формулам для суммы углов:
\( \cos(A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B \)
\( \cos(\beta + \gamma) = \cos \beta \cos \gamma — \sin \beta \sin \gamma \)
\( \cos(\alpha + \gamma) = \cos \alpha \cos \gamma — \sin \alpha \sin \gamma \)
2. Подставим раскрытые формулы в левую часть равенства:
\( \cos \alpha \cdot (\cos \beta \cos \gamma — \sin \beta \sin \gamma) — \cos \beta \cdot (\cos \alpha \cos \gamma — \sin \alpha \sin \gamma) \)
3. Раскроем скобки:
\( = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma — \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma — \cos \beta \cos \alpha \cos \gamma + \cos \beta \sin \alpha \sin \gamma \)
4. Упростим выражение, видим, что первая и вторая части уравнения сокращаются:
\( = — \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \alpha \sin \gamma \)
5. Вынесем \( \sin \gamma \) за скобки:
\( = \sin \gamma (\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta) \)
6. Видим, что внутри скобок — это формула для \( \sin(\alpha — \beta) \):
\( = \sin \gamma \sin(\alpha — \beta) \)
Ответ: \( \cos \alpha \cos(\beta + \gamma) — \cos \beta \cos(\alpha + \gamma) = \sin \gamma \sin(\alpha — \beta) \)
б) \( \sin(\alpha — \beta)\sin\gamma + \sin(\beta — \gamma)\sin\alpha = \sin(\alpha — \gamma)\sin\beta \)
1. Раскроем синусы по формулам для разности углов:
\( \sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B \)
\( \sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta \)
\( \sin(\beta — \gamma) = \sin \beta \cos \gamma — \cos \beta \sin \gamma \)
2. Подставим раскрытые формулы в левую часть равенства:
\( (\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta)\sin \gamma + (\sin \beta \cos \gamma — \cos \beta \sin \gamma)\sin \alpha \)
3. Раскроем скобки:
\( = \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma — \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + \sin \beta \cos \gamma \sin \alpha — \cos \beta \sin \gamma \sin \alpha \)
4. Упростим выражение, видим, что \( \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma \) и \( \cos \beta \sin \gamma \sin \alpha \) сокращаются:
\( = — \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + \sin \beta \sin \alpha \cos \gamma \)
5. Вынесем \( \sin \beta \) за скобки:
\( = \sin \beta (\sin \alpha \cos \gamma — \cos \alpha \sin \gamma) \)
6. Видим, что внутри скобок — это формула для \( \sin(\alpha — \gamma) \):
\( = \sin \beta \sin(\alpha — \gamma) \)
Ответ: \( \sin(\alpha — \beta)\sin\gamma + \sin(\beta — \gamma)\sin\alpha = \sin(\alpha — \gamma)\sin\beta \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.