ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1427 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \frac{\sin(\alpha + \beta) — \sin(\alpha — \beta)}{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha — \beta)}; \)
б) \( \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha — \beta)}{\cos(\alpha + \beta) — \cos(\alpha — \beta)}; \)
в) \( \frac{\cos(\alpha + \beta) — \cos(\alpha — \beta)}{\sin(\alpha + \beta) — \sin(\alpha — \beta)}. \)
г) \( \frac{\cos(a + \beta) — \cos(a — \beta)}{\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)} \)
Упростить выражение:
а) \( \frac{\sin(\alpha + \beta) — \sin(\alpha — \beta)}{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha — \beta)} = \)
\( = \frac{\sin a\cos\beta + \sin\beta\cos a — \sin a\cos\beta + \sin\beta\cos a}{\sin a\cos\beta + \sin\beta\cos a + \sin a\cos\beta — \sin\beta\cos a} = \)
\( = \frac{2\sin\beta\cos a}{2\sin a\cos\beta} = \tan\beta\cot a; \)
б) \( \frac{\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta)}{\cos(a + \beta) — \cos(a — \beta)} = \)
\( = \frac{\cos a\cos\beta — \sin a\sin\beta + \cos a\cos\beta + \sin a\sin\beta}{\cos a\cos\beta — \sin a\sin\beta — \cos a\cos\beta — \sin a\sin\beta} = \)
\( = \frac{2\cos a\cos\beta}{-2\sin a\sin\beta} = -\cot a\tan\beta; \)
в) \( \frac{\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)}{\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta)} = \)
\( = \frac{\sin a\cos\beta + \sin\beta\cos a + \sin a\cos\beta — \sin\beta\cos a}{\cos a\cos\beta — \sin a\sin\beta + \cos a\cos\beta + \sin a\sin\beta} = \)
\( = \frac{2\sin a\cos\beta}{2\cos a\cos\beta} = \tan a; \)
г) \( \frac{\cos(a + \beta) — \cos(a — \beta)}{\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)} = \)
\( = \frac{\cos a\cos\beta — \sin a\sin\beta — \cos a\cos\beta — \sin a\sin\beta}{\sin a\cos\beta + \sin\beta\cos a — \sin a\cos\beta + \sin\beta\cos a} = \)
\( = \frac{-2\sin a\sin\beta}{2\sin\beta\cos a} = -\tan a. \)
Задача: Упростите выражения:
а) \( \frac{\sin(\alpha + \beta) — \sin(\alpha — \beta)}{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha — \beta)} \)
1. Используем формулы для синуса суммы и разности углов:
\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
\( \sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B \)
2. Подставляем в числитель и знаменатель:
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \)
\( \sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cos \beta — \sin \beta \cos \alpha \)
3. Числитель:
\( \sin(\alpha + \beta) — \sin(\alpha — \beta) = (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha) -\)
\((\sin \alpha \cos \beta — \sin \beta \cos \alpha) = 2 \sin \beta \cos \alpha \)
4. Знаменатель:
\( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha — \beta) = (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha) +\)
\((\sin \alpha \cos \beta — \sin \beta \cos \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \beta \)
5. Подставляем в исходное выражение:
\( \frac{2 \sin \beta \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \beta} = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \tan \beta \cot \alpha \)
Ответ: \( \frac{\sin(\alpha + \beta) — \sin(\alpha — \beta)}{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha — \beta)} = \tan \beta \cot \alpha \)
б) \( \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha — \beta)}{\cos(\alpha + \beta) — \cos(\alpha — \beta)} \)
1. Используем формулы для косинуса суммы и разности углов:
\( \cos(A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B \)
\( \cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
2. Подставляем в числитель и знаменатель:
\( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta \)
\( \cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
3. Числитель:
\( \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha — \beta) = (\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta) +\)
\( (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta \)
4. Знаменатель:
\( \cos(\alpha + \beta) — \cos(\alpha — \beta) = (\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta) -\)
\((\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = -2 \sin \alpha \sin \beta \)
5. Подставляем в исходное выражение:
\( \frac{2 \cos \alpha \cos \beta}{-2 \sin \alpha \sin \beta} = -\cot \alpha \tan \beta \)
Ответ: \( \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha — \beta)}{\cos(\alpha + \beta) — \cos(\alpha — \beta)} = -\tan\alpha \tan \beta \)
в) \( \frac{\cos(\alpha + \beta) — \cos(\alpha — \beta)}{\sin(\alpha + \beta) — \sin(\alpha — \beta)} \)
1. Используем формулы для косинуса и синуса суммы и разности углов:
\( \cos(A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B \)
\( \cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
\( \sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B \)
2. Подставляем в числитель и знаменатель:
\( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta \)
\( \cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
\( \sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta \)
3. Числитель:
\( \cos(\alpha + \beta) — \cos(\alpha — \beta) = (\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta) -\)
\( (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = -2 \sin \alpha \sin \beta \)
4. Знаменатель:
\( \sin(\alpha + \beta) — \sin(\alpha — \beta) = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) -\)
\((\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta \)
5. Подставляем в исходное выражение:
\( \frac{-2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \cos \alpha \sin \beta} = -\tan \alpha \)
Ответ: \( \frac{\cos(\alpha + \beta) — \cos(\alpha — \beta)}{\sin(\alpha + \beta) — \sin(\alpha — \beta)} = \tan \alpha \)
г) \( \frac{\cos(a + \beta) — \cos(a — \beta)}{\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)} \)
1. Используем формулы для косинуса и синуса суммы и разности углов:
\( \cos(A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B \)
\( \cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
\( \sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B \)
2. Подставляем в числитель и знаменатель:
\( \cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta \)
\( \cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta \)
\( \sin(a + \beta) = \sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta \)
\( \sin(a — \beta) = \sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta \)
3. Числитель:
\( \cos(a + \beta) — \cos(a — \beta) = (\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta) -\)
\( (\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta) = -2 \sin a \sin \beta \)
4. Знаменатель:
\( \sin(a + \beta) — \sin(a — \beta) = (\sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta) -\)
\((\sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta) = 2 \cos a \sin \beta \)
5. Подставляем в исходное выражение:
\( \frac{-2 \sin a \sin \beta}{2 \cos a \sin \beta} = -\tan a \)
Ответ: \( \frac{\cos(a + \beta) — \cos(a — \beta)}{\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)} = -\tan a \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.