ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1426 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество:
а) \( \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha — \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta; \)
б) \( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha — \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta; \)
в) \( \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha — \beta) = \sin^2\alpha — \sin^2\beta; \)
г) \( \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha — \beta) = \cos^2\alpha — \sin^2\beta; \)
д) \( \cos(\alpha — \beta) — \cos(\alpha + \beta) = 2\sin\alpha\sin\beta. \)
Доказать тождество:
а) \( \cos(a + \beta) + \cos(a — \beta) = 2\cos a\cos\beta; \)
Левая часть равенства:
\( \cos(a + \beta) + \cos(a — \beta) = \)
\( = \cos a\cos\beta — \sin a\sin\beta + \cos a\cos\beta + \sin a\sin\beta = \)
\( = \cos a\cos\beta + \cos a\cos\beta = 2\cos a\cos\beta; \)
Тождество доказано.
б) \( \sin(a + \beta) + \sin(a — \beta) = 2\sin a\cos\beta; \)
Левая часть равенства:
\( \sin(a + \beta) + \sin(a — \beta) = \)
\( = \sin a\cos\beta + \sin\beta\cos a + \sin a\cos\beta — \sin\beta\cos a = \)
\( = \sin a\cos\beta + \sin a\cos\beta = 2\sin a\cos\beta; \)
Тождество доказано.
в) \( \sin(a + \beta)\sin(a — \beta) = \sin^2 a — \sin^2\beta; \)
Левая часть равенства:
\( \sin(a + \beta)\sin(a — \beta) = \)
\( = (\sin a\cos\beta + \sin\beta\cos a)(\sin a\cos\beta — \sin\beta\cos a) = \)
\( = \sin^2 a\cos^2\beta — \sin^2\beta\cos^2 a = \)
\( = \sin^2 a(1 — \sin^2\beta) — \sin^2\beta(1 — \sin^2 a) = \)
\( = \sin^2 a — \sin^2\beta\sin^2 a — \sin^2\beta + \sin^2 a\sin^2\beta = \)
\( = \sin^2 a — \sin^2\beta; \)
Тождество доказано.
г) \( \cos(a + \beta)\cos(a — \beta) = \cos^2 a — \sin^2\beta; \)
Левая часть равенства:
\( \cos(a + \beta)\cos(a — \beta) = \)
\( = (\cos a\cos\beta — \sin a\sin\beta)(\cos a\cos\beta + \sin a\sin\beta) = \)
\( = \cos^2 a\cos^2\beta — \sin^2 a\sin^2\beta = \)
\( = \cos^2 a(1 — \sin^2\beta) — (1 — \cos^2 a)\sin^2\beta = \)
\( = \cos^2 a — \sin^2\beta\cos^2 a — \sin^2\beta + \sin^2\beta\cos^2 a = \)
\( = \cos^2 a — \sin^2\beta; \)
Тождество доказано.
д) \( \cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) = 2\sin a\sin\beta; \)
Левая часть равенства:
\( \cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) = \)
\( = \cos a\cos\beta + \sin a\sin\beta — \cos a\cos\beta + \sin a\sin\beta = \)
\( = \sin a\sin\beta + \sin a\sin\beta = 2\sin a\sin\beta; \)
Тождество доказано.
Задача: Докажите тождество:
а) \( \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha — \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta \)
1. Используем формулу для косинуса суммы и разности углов:
\( \cos(A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B \)
\( \cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
2. Подставляем в левую часть равенства:
\( \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha — \beta) = (\cos\alpha\cos\beta — \sin\alpha\sin\beta) +\)
\( (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \)
3. Упрощаем выражение, видим, что \( \sin\alpha\sin\beta \) сокращаются:
\( = 2\cos\alpha\cos\beta \)
Ответ: \( \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha — \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta \)
б) \( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha — \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta \)
1. Используем формулу для синуса суммы и разности углов:
\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
\( \sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B \)
2. Подставляем в левую часть равенства:
\( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha — \beta) = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) +\)
\((\sin\alpha\cos\beta — \cos\alpha\sin\beta) \)
3. Упрощаем выражение, видим, что \( \cos\alpha\sin\beta \) сокращается:
\( = 2\sin\alpha\cos\beta \)
Ответ: \( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha — \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta \)
в) \( \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha — \beta) = \sin^2\alpha — \sin^2\beta \)
1. Используем формулу для синуса суммы и разности углов:
\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
\( \sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B \)
2. Подставляем в левую часть равенства:
\( \sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha — \beta) = (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)\)
\((\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta) \)
3. Используем формулу для произведения двух выражений в виде разности квадратов:
\( = (\sin^2 \alpha \cos^2 \beta — \cos^2 \alpha \sin^2 \beta) \)
4. Перегруппируем выражение:
\( = \sin^2 \alpha (1 — \sin^2 \beta) — \sin^2 \beta (1 — \sin^2 \alpha) \)
5. Упростим, учитывая, что \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \):
\( = \sin^2 \alpha — \sin^2 \beta \)
Ответ: \( \sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha — \beta) = \sin^2\alpha — \sin^2\beta \)
г) \( \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha — \beta) = \cos^2\alpha — \sin^2\beta \)
1. Используем формулу для косинуса суммы и разности углов:
\( \cos(A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B \)
\( \cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
2. Подставляем в левую часть равенства:
\( \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha — \beta) = (\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta)\)
\((\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \)
3. Используем формулу для произведения двух выражений в виде разности квадратов:
\( = \cos^2 \alpha \cos^2 \beta — \sin^2 \alpha \sin^2 \beta \)
4. Перегруппируем выражение:
\( = \cos^2 \alpha (1 — \sin^2 \beta) — (1 — \cos^2 \alpha)\sin^2 \beta \)
5. Упростим, учитывая, что \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \):
\( = \cos^2 \alpha — \sin^2 \beta \)
Ответ: \( \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha — \beta) = \cos^2\alpha — \sin^2\beta \)
д) \( \cos(\alpha — \beta) — \cos(\alpha + \beta) = 2\sin\alpha\sin\beta \)
1. Используем формулу для косинуса разности и суммы углов:
\( \cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
\( \cos(A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B \)
2. Подставляем в левую часть равенства:
\( \cos(\alpha — \beta) — \cos(\alpha + \beta) = (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) -\)
\((\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta) \)
3. Упрощаем выражение, видим, что \( \cos \alpha \cos \beta \) сокращаются:
\( = \sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
\( = 2 \sin \alpha \sin \beta \)
Ответ: \( \cos(\alpha — \beta) — \cos(\alpha + \beta) = 2\sin\alpha\sin\beta \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.