ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1425 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Упростите выражения:

а) \( \cos 2\varphi \cos 3\varphi + \sin 2\varphi \sin 3\varphi \)

1. Используем формулу для косинуса суммы углов:

\( \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A — B) \)

2. Подставляем \( A = 3\varphi \) и \( B = 2\varphi \):

\( \cos 2\varphi \cos 3\varphi + \sin 2\varphi \sin 3\varphi = \cos(3\varphi — 2\varphi) \)

3. Упростим:

\( \cos(3\varphi — 2\varphi) = \cos \varphi \)

Ответ: \( \cos 2\varphi \cos 3\varphi + \sin 2\varphi \sin 3\varphi = \cos \varphi \)

б) \( \sin \gamma \cos 2\gamma — \cos \gamma \sin 2\gamma \)

1. Используем формулу для синуса разности углов:

\( \sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(A — B) \)

2. Подставляем \( A = \gamma \) и \( B = 2\gamma \):

\( \sin \gamma \cos 2\gamma — \cos \gamma \sin 2\gamma = \sin(\gamma — 2\gamma) \)

3. Упростим:

\( = \sin(-\gamma) \)

4. Используем свойство синуса: \( \sin(-x) = -\sin(x) \), поэтому:

\( = -\sin \gamma \)

Ответ: \( \sin \gamma \cos 2\gamma — \cos \gamma \sin 2\gamma = -\sin \gamma \)

в) \( \cos \frac{1}{3}\alpha \cos \frac{2}{3}\alpha — \sin \frac{1}{3}\alpha \sin \frac{2}{3}\alpha \)

1. Используем формулу для косинуса суммы углов:

\( \cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B) \)

2. Подставляем \( A = \frac{a}{3} \) и \( B = \frac{2a}{3} \):

\( \cos \frac{a}{3} \cos \frac{2a}{3} — \sin \frac{a}{3} \sin \frac{2a}{3} = \cos\left(\frac{a}{3} + \frac{2a}{3}\right) \)

3. Упростим:

\( = \cos a \)

Ответ: \( \cos \frac{1}{3}\alpha \cos \frac{2}{3}\alpha — \sin \frac{1}{3}\alpha \sin \frac{2}{3}\alpha = \cos a \)

г) \( \sin \frac{1}{2}\gamma \cos \frac{3}{2}\gamma + \cos \frac{1}{2}\gamma \sin \frac{3}{2}\gamma \)

1. Используем формулу для синуса суммы углов:

\( \sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B) \)

2. Подставляем \( A = \frac{\gamma}{2} \) и \( B = \frac{3\gamma}{2} \):

\( \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{3\gamma}{2} + \cos \frac{\gamma}{2} \sin \frac{3\gamma}{2} = \sin\left(\frac{\gamma}{2} + \frac{3\gamma}{2}\right) \)

3. Упростим:

\( = \sin 2\gamma \)

Ответ: \( \sin \frac{1}{2}\gamma \cos \frac{3}{2}\gamma + \cos \frac{1}{2}\gamma \sin \frac{3}{2}\gamma = \sin 2\gamma \)