ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1423 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Упростите выражения:

а) \( 2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) — \sqrt{3}\sin \alpha \)

1. Используем формулу для синуса суммы углов:

\( \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin \frac{\pi}{6} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{6} \sin \alpha \)

2. Подставляем значения \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \) и \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\( 2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = 2\left(\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha\right) = \cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha \)

3. Теперь подставим это в исходное выражение:

\( 2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) — \sqrt{3}\sin \alpha = \cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha — \sqrt{3} \sin \alpha \)

4. Видим, что \( \sqrt{3} \sin \alpha \) сокращается:

\( = \cos \alpha \)

Ответ: \( 2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) — \sqrt{3}\sin \alpha = \cos \alpha \)

б) \( \frac{1}{2}\cos \alpha — \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) \)

1. Используем формулу для косинуса суммы углов:

\( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha — \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha \)

2. Подставляем значения \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) и \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cos \alpha — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \)

3. Подставляем это в исходное выражение:

\( \frac{1}{2} \cos \alpha — \left(\frac{1}{2} \cos \alpha — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha\right) \)

4. Упростим выражение:

\( = \frac{1}{2} \cos \alpha — \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \)

\( = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \)

Ответ: \( \frac{1}{2}\cos \alpha — \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \)

в) \( \sqrt{2}\sin \alpha — 2\sin\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) \)

1. Используем формулу для синуса разности углов:

\( \sin\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} — \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} \)

2. Подставляем значения \( \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\( \sin\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha — \cos \alpha) \)

3. Подставляем это в исходное выражение:

\( \sqrt{2} \sin \alpha — 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha — \cos \alpha) = \sqrt{2} \sin \alpha — \sqrt{2} (\sin \alpha — \cos \alpha) \)

4. Упростим выражение:

\( = \sqrt{2} \sin \alpha — \sqrt{2} \sin \alpha + \sqrt{2} \cos \alpha \)

\( = \sqrt{2} \cos \alpha \)

Ответ: \( \sqrt{2}\sin \alpha — 2\sin\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos \alpha \)

г) \( \cos\left(\alpha — \frac{\pi}{6}\right) — \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha \)

1. Используем формулу для косинуса разности углов:

\( \cos\left(\alpha — \frac{\pi}{6}\right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi}{6} \)

2. Подставляем значения \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \):

\( \cos\left(\alpha — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha \)

3. Подставляем это в исходное выражение:

\( \cos\left(\alpha — \frac{\pi}{6}\right) — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \)

4. Видим, что \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \) сокращается:

\( = \frac{1}{2} \sin \alpha \)

Ответ: \( \cos\left(\alpha — \frac{\pi}{6}\right) — \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha = \frac{1}{2} \sin \alpha \)