ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1422 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Упростите выражения:

а) \( \cos \frac{8\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} + \sin \frac{8\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5} \)

1. Используем формулу для косинуса суммы углов:

\( \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A — B) \)

2. Подставляем \( A = \frac{8\pi}{15} \) и \( B = \frac{\pi}{5} \):

\( \cos \frac{8\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} + \sin \frac{8\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5} = \cos\left(\frac{8\pi}{15} — \frac{\pi}{5}\right) \)

3. Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{15} \)

\( \frac{8\pi}{15} — \frac{3\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3} \)

4. Упростим выражение:

\( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \cos \frac{8\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} + \sin \frac{8\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5} = \frac{1}{2} \)

б) \( \cos \frac{\pi}{10} \cos \frac{2\pi}{5} — \sin \frac{\pi}{10} \sin \frac{2\pi}{5} \)

1. Используем формулу для косинуса суммы углов:

\( \cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B) \)

2. Подставляем \( A = \frac{\pi}{10} \) и \( B = \frac{2\pi}{5} \):

\( \cos \frac{\pi}{10} \cos \frac{2\pi}{5} — \sin \frac{\pi}{10} \sin \frac{2\pi}{5} = \cos\left(\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5}\right) \)

3. Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{10} \)

\( \frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} \)

4. Упростим выражение:

\( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \)

Ответ: \( \cos \frac{\pi}{10} \cos \frac{2\pi}{5} — \sin \frac{\pi}{10} \sin \frac{2\pi}{5} = 0 \)

в) \( \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{12} \)

1. Используем формулу для синуса суммы углов:

\( \sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B) \)

2. Подставляем \( A = \frac{\pi}{6} \) и \( B = \frac{\pi}{12} \):

\( \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{12} = \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12}\right) \)

3. Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12} \)

\( \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4} \)

4. Упростим выражение:

\( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Ответ: \( \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

г) \( \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} — \cos \frac{\pi}{9} \sin \frac{4\pi}{9} \)

1. Используем формулу для синуса разности углов:

\( \sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(A — B) \)

2. Подставляем \( A = \frac{\pi}{9} \) и \( B = \frac{4\pi}{9} \):

\( \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} — \cos \frac{\pi}{9} \sin \frac{4\pi}{9} = \sin\left(\frac{\pi}{9} — \frac{4\pi}{9}\right) \)

3. Упростим выражение:

\( = \sin\left(-\frac{3\pi}{9}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \)

4. Используем свойство синуса: \( \sin(-x) = -\sin(x) \), поэтому:

\( = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Ответ: \( \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} — \cos \frac{\pi}{9} \sin \frac{4\pi}{9} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)