ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1419 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Выразить через функции угла \( \alpha \):
а) \( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right); \)
б) \( \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right); \)
в) \( \sin\left(\frac{\pi}{3} — \alpha\right); \)
г) \( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right); \)
д) \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right); \)
е) \( \cos\left(\frac{\pi}{6} — \alpha\right). \)
Выразить через функции угла \( \alpha \):
а) \( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos a + \cos\frac{\pi}{4}\sin a = \)
\( = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin a + \cos a); \)
б) \( \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos a + \sin\frac{\pi}{4}\sin a = \)
\( = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin a + \cos a); \)
в) \( \sin\left(\frac{\pi}{3} — \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3}\cos a — \cos\frac{\pi}{3}\sin a = \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos a — \frac{1}{2}\sin a = \frac{1}{2}(\sqrt{3}\cos a — \sin a); \)
г) \( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos a — \sin\frac{\pi}{3}\sin a = \)
\( = \frac{1}{2}\cos a — \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a = \frac{1}{2}(\cos a — \sqrt{3}\sin a); \)
д) \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos a + \cos\frac{\pi}{6}\sin a = \)
\( = \frac{1}{2}\cos a + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin a = \frac{1}{2}(\cos a + \sqrt{3}\sin a); \)
е) \( \cos\left(\frac{\pi}{6} — \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{6}\cos a + \sin\frac{\pi}{6}\sin a = \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos a + \frac{1}{2}\sin a = \frac{1}{2}(\sqrt{3}\cos a + \sin a); \)
Задача: Выразить через функции угла \( \alpha \):
а) \( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \)
1. Для нахождения значения \( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \) используем формулу для синуса суммы углов:
\( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos\frac{\pi}{4} \sin \alpha \)
2. Известно, что \( \sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Подставляем эти значения:
\( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha \)
3. Выносим общий множитель \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):
\( = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) \)
Ответ: \( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) \)
б) \( \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) \)
1. Для нахождения значения \( \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) \) используем формулу для косинуса разности углов:
\( \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin\frac{\pi}{4} \sin \alpha \)
2. Подставляем значения \( \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \):
\( \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha \)
3. Выносим общий множитель \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):
\( = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) \)
Ответ: \( \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) \)
в) \( \sin\left(\frac{\pi}{3} — \alpha\right) \)
1. Для нахождения значения \( \sin\left(\frac{\pi}{3} — \alpha\right) \) используем формулу для синуса разности углов:
\( \sin\left(\frac{\pi}{3} — \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3} \cos \alpha — \cos\frac{\pi}{3} \sin \alpha \)
2. Подставляем значения \( \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \):
\( \sin\left(\frac{\pi}{3} — \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha — \frac{1}{2} \sin \alpha \)
3. Упрощаем выражение:
\( = \frac{1}{2} (\sqrt{3} \cos \alpha — \sin \alpha) \)
Ответ: \( \sin\left(\frac{\pi}{3} — \alpha\right) = \frac{1}{2} (\sqrt{3} \cos \alpha — \sin \alpha) \)
г) \( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) \)
1. Для нахождения значения \( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) \) используем формулу для косинуса суммы углов:
\( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3} \cos \alpha — \sin\frac{\pi}{3} \sin \alpha \)
2. Подставляем значения \( \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) и \( \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cos \alpha — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \)
3. Упрощаем выражение:
\( = \frac{1}{2} (\cos \alpha — \sqrt{3} \sin \alpha) \)
Ответ: \( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2} (\cos \alpha — \sqrt{3} \sin \alpha) \)
д) \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \)
1. Для нахождения значения \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \) используем формулу для синуса суммы углов:
\( \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6} \cos \alpha + \cos\frac{\pi}{6} \sin \alpha \)
2. Подставляем значения \( \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \) и \( \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\( \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \)
3. Упрощаем выражение:
\( = \frac{1}{2} (\cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha) \)
Ответ: \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2} (\cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha) \)
е) \( \cos\left(\frac{\pi}{6} — \alpha\right) \)
1. Для нахождения значения \( \cos\left(\frac{\pi}{6} — \alpha\right) \) используем формулу для косинуса разности углов:
\( \cos\left(\frac{\pi}{6} — \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{6} \cos \alpha + \sin\frac{\pi}{6} \sin \alpha \)
2. Подставляем значения \( \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \):
\( \cos\left(\frac{\pi}{6} — \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha \)
3. Упрощаем выражение:
\( = \frac{1}{2} (\sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha) \)
Ответ: \( \cos\left(\frac{\pi}{6} — \alpha\right) = \frac{1}{2} (\sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha) \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.