ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1418 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Используя формулы сложения, найдите значение выражения:

а) \( \sin 15^\circ \)

1. Используем формулу для синуса разности углов:

\( \sin(45^\circ — 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ — \sin 30^\circ \cos 45^\circ \)

2. Подставим известные значения для синусов и косинусов углов \( 45^\circ \) и \( 30^\circ \):

\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

3. Подставляем эти значения в формулу для \( \sin 15^\circ \):

\( \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)

4. Упростим выражение:

\( = \frac{\sqrt{6}}{4} — \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4} \)

Ответ: \( \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4} \)

б) \( \cos 15^\circ \)

1. Используем формулу для косинуса разности углов:

\( \cos(45^\circ — 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \)

2. Подставим известные значения для синусов и косинусов углов \( 45^\circ \) и \( 30^\circ \):

\( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)

3. Подставляем эти значения в формулу для \( \cos 15^\circ \):

\( \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \)

4. Упростим выражение:

\( = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

Ответ: \( \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

в) \( \sin 105^\circ \)

1. Используем формулу для синуса суммы углов:

\( \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \)

2. Подставим известные значения для синусов и косинусов углов \( 60^\circ \) и \( 45^\circ \):

\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

3. Подставляем эти значения в формулу для \( \sin 105^\circ \):

\( \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)

4. Упростим выражение:

\( = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

Ответ: \( \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)