Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1417 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Известно, что \( \alpha \) и \( \beta \) — углы I четверти и \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), \( \cos \beta = \frac{1}{3} \). Найдите:
а) \( \sin(\alpha + \beta); \)
б) \( \sin(\alpha — \beta); \)
в) \( \cos(\alpha + \beta); \)
г) \( \cos(\alpha — \beta). \)
Известно следующее:
\( \sin a = \frac{3}{5}, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2}; \)
\( \cos \beta = \frac{1}{3}, \quad 0 < \beta < \frac{\pi}{2}; \)
Значения функций:
\( \cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}; \)
\( \sin \beta = \sqrt{1 — \cos^2 \beta} = \sqrt{1 — \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}; \)
а) \( \sin(a + \beta) = \sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta = \)
\( = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3}{15} + \frac{8\sqrt{2}}{15} = \frac{3 + 8\sqrt{2}}{15}; \)
б) \( \sin(a — \beta) = \sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta = \)
\( = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} — \frac{4}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3}{15} — \frac{8\sqrt{2}}{15} = \frac{3 — 8\sqrt{2}}{15}; \)
в) \( \cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta = \)
\( = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} — \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{15} — \frac{6\sqrt{2}}{15} = \frac{4 — 6\sqrt{2}}{15}; \)
г) \( \cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta = \)
\( = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{15} + \frac{6\sqrt{2}}{15} = \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15}; \)
Задача: Известно, что \( \alpha \) и \( \beta \) — углы I четверти, \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), \( \cos \beta = \frac{1}{3} \). Найдите:
а) \( \sin(\alpha + \beta) \)
1. Для нахождения \( \sin(\alpha + \beta) \) используем формулу для синуса суммы углов:
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
2. Нам даны значения \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) и \( \cos \beta = \frac{1}{3} \), но для вычисления нам нужно также найти \( \cos \alpha \) и \( \sin \beta \). Для этого используем основные тригонометрические тождества.
3. Для нахождения \( \cos \alpha \) используем тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
\( \cos \alpha = \sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \frac{4}{5} \)
4. Для нахождения \( \sin \beta \) используем тождество \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \):
\( \sin \beta = \sqrt{1 — \cos^2 \beta} = \sqrt{1 — \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
5. Подставляем найденные значения в формулу для \( \sin(\alpha + \beta) \):
\( \sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
6. Упростим выражение:
\( = \frac{3}{15} + \frac{8\sqrt{2}}{15} = \frac{3 + 8\sqrt{2}}{15} \)
Ответ: \( \sin(\alpha + \beta) = \frac{3 + 8\sqrt{2}}{15} \)
б) \( \sin(\alpha — \beta) \)
1. Для нахождения \( \sin(\alpha — \beta) \) используем формулу для синуса разности углов:
\( \sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta \)
2. Подставляем значения \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), \( \cos \beta = \frac{1}{3} \), \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \), \( \sin \beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \):
\( \sin(\alpha — \beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} — \frac{4}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
3. Упростим выражение:
\( = \frac{3}{15} — \frac{8\sqrt{2}}{15} = \frac{3 — 8\sqrt{2}}{15} \)
Ответ: \( \sin(\alpha — \beta) = \frac{3 — 8\sqrt{2}}{15} \)
в) \( \cos(\alpha + \beta) \)
1. Для нахождения \( \cos(\alpha + \beta) \) используем формулу для косинуса суммы углов:
\( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta \)
2. Подставляем значения \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \), \( \cos \beta = \frac{1}{3} \), \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), \( \sin \beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \):
\( \cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} — \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
3. Упростим выражение:
\( = \frac{4}{15} — \frac{6\sqrt{2}}{15} = \frac{4 — 6\sqrt{2}}{15} \)
Ответ: \( \cos(\alpha + \beta) = \frac{4 — 6\sqrt{2}}{15} \)
г) \( \cos(\alpha — \beta) \)
1. Для нахождения \( \cos(\alpha — \beta) \) используем формулу для косинуса разности углов:
\( \cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
2. Подставляем значения \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \), \( \cos \beta = \frac{1}{3} \), \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), \( \sin \beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \):
\( \cos(\alpha — \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
3. Упростим выражение:
\( = \frac{4}{15} + \frac{6\sqrt{2}}{15} = \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15} \)
Ответ: \( \cos(\alpha — \beta) = \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.