ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1416 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Решите уравнение \( \sqrt{x^2 + 3x + 46} + \frac{20}{\sqrt{x^2 + 3x + 46}} = 12 \).

1. Пусть \( y = \sqrt{x^2 + 3x + 46} \). Тогда уравнение можно переписать в виде:

\( y + \frac{20}{y} = 12 \)

2. Умножим обе части уравнения на \( y \) (при \( y \neq 0 \)):

\( y^2 + 20 = 12y \)

3. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\( y^2 — 12y + 20 = 0 \)

4. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -12 \), и \( c = 20 \):

\( D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 — 80 = 64 \)

5. Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения \( y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \) и \( y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \):

\( y_1 = \frac{12 — 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_2 = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)

6. Теперь рассмотрим оба значения \( y \) и подставим их в исходное уравнение:

Первое значение: \( y = 2 \)

\( \sqrt{x^2 + 3x + 46} = 2 \)

Возведем обе стороны в квадрат:

\( x^2 + 3x + 46 = 4 \)

Переносим 4 на другую сторону:

\( x^2 + 3x + 42 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Для этого находим дискриминант:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 42 = 9 — 168 = -159 \)

Так как дискриминант отрицателен (\( D < 0 \)), то уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, для этого значения \( y = 2 \) решений нет.

Второе значение: \( y = 10 \)

\( \sqrt{x^2 + 3x + 46} = 10 \)

Возведем обе стороны в квадрат:

\( x^2 + 3x + 46 = 100 \)

Переносим 100 на другую сторону:

\( x^2 + 3x — 54 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Для этого находим дискриминант:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 \)

Теперь находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-3 — 15}{2} = -9 \)

\( x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = 6 \)

Ответ: \( x = -9 \) или \( x = 6 \).