ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1415 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: С помощью каких преобразований можно получить график функции \( y = \frac{1}{2} \sin\left(2x — \frac{\pi}{5}\right) \) из графика функции \( y = \sin x \)?

Для того чтобы преобразовать график функции \( y = \sin x \) в график функции \( y = \frac{1}{2} \sin\left(2x — \frac{\pi}{5}\right) \), нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим, какие конкретно преобразования необходимо применить.

1. Сдвиг графика вдоль оси \( x \)

В функции \( \sin\left(2x — \frac{\pi}{5}\right) \) имеется выражение \( 2x — \frac{\pi}{5} \). Это преобразование включает два элемента: сдвиг и растяжение/сжатие по оси абсцисс. Рассмотрим сдвиг:

\( \sin(x — \frac{\pi}{5}) \) — это сдвиг графика функции \( \sin x \) на \( \frac{\pi}{5} \) единиц вправо. Это означает, что график функции \( y = \sin x \) будет смещен вправо по оси \( x \) на \( \frac{\pi}{5} \) единиц. Такое преобразование сдвигает все точки графика вправо.

2. Сжатие графика по оси абсцисс:

Теперь рассмотрим множитель 2, который перед \( x \) в выражении \( 2x \). Этот множитель изменяет период функции. Для функции \( y = \sin x \) период равен \( 2\pi \), но для функции \( y = \sin(2x) \) период сокращается в 2 раза. Новый период будет равен \( \frac{2\pi}{2} = \pi \). Это означает, что график будет сжат вдоль оси \( x \) в 2 раза, а волны графика станут более частыми. Величина коэффициента перед \( x \) отвечает за сжатие или растяжение графика по оси абсцисс.

3. Сжатие графика по оси ординат:

В функции \( \frac{1}{2} \sin\left(2x — \frac{\pi}{5}\right) \) коэффициент \( \frac{1}{2} \) перед синусом уменьшает амплитуду графика. Амплитуда функции \( y = \sin x \) равна 1, но в данной функции амплитуда будет равна \( \frac{1}{2} \). Это значит, что график будет сжат вдоль оси \( y \) в 2 раза. Таким образом, для функции \( y = \frac{1}{2} \sin\left(2x — \frac{\pi}{5}\right) \) максимальные и минимальные значения функции будут равны \( \frac{1}{2} \) и \( -\frac{1}{2} \), соответственно.

Итак, для получения графика функции \( y = \frac{1}{2} \sin\left(2x — \frac{\pi}{5}\right) \) из графика функции \( y = \sin x \) необходимо выполнить следующие преобразования:

Сдвиг графика функции \( y = \sin x \) на \( \frac{\pi}{5} \) единиц вправо;

Сжать график вдоль оси \( x \) в 2 раза (из-за множителя 2 перед \( x \));

Сжать график вдоль оси \( y \) в 2 раза (из-за коэффициента \( \frac{1}{2} \) перед синусом).

Таким образом, график функции \( y = \frac{1}{2} \sin\left(2x — \frac{\pi}{5}\right) \) можно получить из графика функции \( y = \sin x \) с помощью сдвига, сжатия по осям и изменения амплитуды.