ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1414 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?

1. Напоминаем, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:

\( c^2 = a^2 + b^2 \), где \( c \) — гипотенуза, а \( a \) и \( b \) — катеты.

2. Пусть длины сторон прямоугольного треугольника составляют геометрическую прогрессию. Тогда стороны можно записать как \( a \), \( b \) и \( c \), где \( a \), \( b \), и \( c \) — три элемента геометрической прогрессии:

\( b_1 = a, \quad b_2 = b, \quad b_3 = c = \sqrt{a^2 + b^2} \)

3. Для геометрической прогрессии выполняется следующее свойство: произведение первого и третьего члена прогрессии равно квадрату второго члена:

\( b^2 = b_1 b_3 \), что даёт:

\( b^2 = ac \)

4. Подставим \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \) из теоремы Пифагора:

\( b^2 = a\sqrt{a^2 + b^2} \)

5. Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\( b^4 = a^2(a^2 + b^2) \)

6. Раскроем скобки на правой стороне:

\( b^4 = a^4 + a^2b^2 \)

7. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

\( a^4 + b^2a^2 — b^4 = 0 \)

8. Применим дискриминант для решения этого уравнения. Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно \( a^2 \):

Дискриминант \( D \) этого уравнения равен:

\( D = (b^2)^2 + 4 \cdot b^4 = 5b^4 \)

9. Решаем это уравнение для \( a^2 \) с использованием дискриминанта:

\( a^2 = \frac{-b^2 \pm b^2\sqrt{5}}{2} = \frac{-b^2(1 \pm \sqrt{5})}{2} \)

10. Из этого уравнения получаем два возможных значения для \( a^2 \):

\( a^2 = \frac{b^2(\sqrt{5} — 1)}{2}, \quad a = b \sqrt{\frac{\sqrt{5} — 1}{2}} \)

11. Таким образом, существует решение для \( a \), что означает, что длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию.

Ответ: Да, длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию.