ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1413 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения: \( y = 2\sin^2 \alpha — 3\cos \alpha \)

1. Начнем с того, что можем выразить \( \sin^2 \alpha \) через \( \cos^2 \alpha \), используя тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\( y = 2(1 — \cos^2 \alpha) — 3\cos \alpha \)

2. Упростим это выражение:

\( y = -2\cos^2 \alpha — 3\cos \alpha + 2 \)

3. Теперь это выражение — квадратичная функция от \( \cos \alpha \), которую можно рассматривать как параболу. Общая форма параболы \( y = Ax^2 + Bx + C \), где \( x = \cos \alpha \), \( A = -2 \), \( B = -3 \), и \( C = 2 \).

4. Для нахождения вершины параболы используем формулу для абсциссы вершины \( x_0 = -\frac{B}{2A} \):

\( \cos \alpha_0 = -\frac{-3}{2 \cdot (-2)} = -\frac{3}{4} \)

5. Теперь найдем значения выражения для \( \cos \alpha = -1 \), \( \cos \alpha = -\frac{3}{4} \), и \( \cos \alpha = 1 \):

— Когда \( \cos \alpha = -1 \):

\( y(-1) = -2 + 3 + 2 = 3 \)

— Когда \( \cos \alpha = -\frac{3}{4} \):

\( y\left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{9}{8} + \frac{9}{4} + 2 = 3\frac{1}{8} \)

— Когда \( \cos \alpha = 1 \):

\( y(1) = -2 — 3 + 2 = -3 \)

6. Таким образом, наименьшее значение \( y = -3 \), а наибольшее значение \( y = 3\frac{1}{8} \).

Ответ: \( -3; 3\frac{1}{8} \)

б) Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения: \( y = 3\cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \)

1. Выразим \( \cos^2 \alpha \) через \( \sin^2 \alpha \), используя тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\( y = 3(1 — \sin^2 \alpha) + 2\sin \alpha \)

2. Упростим выражение:

\( y = -3\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha + 3 \)

3. Это выражение также является квадратичной функцией от \( \sin \alpha \), то есть параболой. Рассмотрим её в виде \( y = A\sin^2 \alpha + B\sin \alpha + C \), где \( A = -3 \), \( B = 2 \), и \( C = 3 \).

4. Для нахождения вершины параболы используем формулу для абсциссы вершины \( x_0 = -\frac{B}{2A} \):

\( \sin \alpha_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{3} \)

5. Теперь найдем значения выражения для \( \sin \alpha = -1 \), \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \), и \( \sin \alpha = 1 \):

— Когда \( \sin \alpha = -1 \):

\( y(-1) = -3 — 2 + 3 = -2 \)

— Когда \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \):

\( y\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 3 = 3\frac{1}{3} \)

— Когда \( \sin \alpha = 1 \):

\( y(1) = -3 + 2 + 3 = 2 \)

6. Таким образом, наименьшее значение \( y = -2 \), а наибольшее значение \( y = 3\frac{1}{3} \).

Ответ: \( -2; 3\frac{1}{3} \)