ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1412 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Доказать неравенство: \( \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \leq \frac{1}{4} \)

1. Умножим обе стороны неравенства на 4:

\( 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \leq 1 \)

2. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Преобразуем выражение так:

\( 1 — 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \geq 0 \)

3. Теперь перепишем выражение как разность квадратов:

\( (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 — 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \geq 0 \)

4. Раскроем и упростим полученное выражение:

\( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha — 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \geq 0 \)

5. Понимаем, что \( (\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha)^2 \geq 0 \), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Доказать неравенство: \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \geq \frac{1}{2} \)

1. Начнем с выражения \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \). Разложим его как разность квадратов:

\( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 — 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \)

2. Подставляем \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\( = 1 — 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \)

3. Теперь из первого неравенства знаем, что \( 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \leq 1 \), и подставим это в выражение:

\( 2 — 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \geq 1 \)

4. Преобразуем неравенство:

\( 1 — 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \geq 0 \)

5. Из последнего неравенства следует, что \( (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 — 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \geq 0 \), что является тождеством:

\( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha — 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \geq 0 \)

6. Понимаем, что \( (\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha)^2 \geq 0 \), так как квадрат любого числа неотрицателен.

Ответ: Неравенство доказано.