ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1411 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Упростим выражение: \( \frac{\sin\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)} \cot\left(\alpha — \frac{5\pi}{4}\right) — \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \sin(\alpha — \pi) \)

1. Начнем с первой части выражения: \( \frac{\sin\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)} \).

Используем формулу для синуса разности и суммы:

\( \sin\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} — \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} \)

\( \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} \)

2. Подставим значения \( \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) в обе формулы:

\( \sin\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \alpha — \cos \alpha) \)

\( \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \alpha + \cos \alpha) \)

3. Таким образом, первая дробь принимает вид:

\( \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \alpha — \cos \alpha)}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin \alpha + \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha — \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \)

4. Переходим ко второй части выражения: \( \cot\left(\alpha — \frac{5\pi}{4}\right) \).

Используем формулу для котангенса разности углов:

\( \cot\left(\alpha — \frac{5\pi}{4}\right) = \frac{\cos \left(\alpha — \frac{5\pi}{4}\right)}{\sin \left(\alpha — \frac{5\pi}{4}\right)} \)

5. Понимаем, что \( \cos\left(\alpha — \frac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \) и \( \sin\left(\alpha — \frac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \). Подставляем это в выражение:

\( \cot\left(\alpha — \frac{5\pi}{4}\right) = \frac{-\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}{-\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)} = \cot\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \)

6. Переходим к последней части выражения: \( -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \sin(\alpha — \pi) \).

Используем тождества для косинуса и синуса с фазовыми сдвигами:

\( \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha \)

\( \sin(\alpha — \pi) = -\sin \alpha \)

7. Подставляем эти значения в выражение:

\( -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \sin(\alpha — \pi) = -(-\sin \alpha)(-\sin \alpha) = \sin^2 \alpha \)

8. Теперь соберем все части вместе:

\( \frac{\sin \alpha — \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \cdot \cot\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) — \sin^2 \alpha \)

9. Понимаем, что результат упростится до \( 1 — \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \), так как это стандартное тригонометрическое тождество.

Ответ: \( \cos^2 \alpha \)

б) Упростим выражение: \( \frac{\tan(1.5\pi — x) — \cos(\pi — x) \sin(3\pi + x)}{(\cos(3.5\pi — x) + \sin(1.5\pi + x))^2 — 1} \)

1. Начнем с числителя: \( \tan(1.5\pi — x) — \cos(\pi — x) \sin(3\pi + x) \).

Используем формулы для углов сдвига:

\( \tan(1.5\pi — x) = -\cot x \) (так как \( \tan(\frac{3\pi}{2} — x) = -\cot x \))

\( \cos(\pi — x) = -\cos x \), \( \sin(3\pi + x) = -\sin x \) (по свойствам тригонометрических функций при угловых сдвигах).

Подставим эти значения:

\( = -\cot x + (-\cos x)(-\sin x) = -\cot x + \cos x \sin x \)

2. Теперь рассмотрим знаменатель:

\( (\cos(3.5\pi — x) + \sin(1.5\pi + x))^2 — 1 \)

Используем аналогичные формулы для углов сдвига:

\( \cos(3.5\pi — x) = -\sin x \) и \( \sin(1.5\pi + x) = -\cos x \).

Подставим эти значения:

\( = (-\sin x + (-\cos x))^2 — 1 \)

3. Упростим выражение:

\( = (\cos x + \sin x)^2 — 1 \)

\( = \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + \sin^2 x — 1 \)

\( = 1 + 2 \sin x \cos x — 1 \)

\( = 2 \sin x \cos x \)

4. Теперь подставим все части в исходное выражение:

\( = \frac{-\cot x + \cos x \sin x}{2 \sin x \cos x} \)

5. Перепишем числитель и знаменатель для упрощения:

\( = \frac{\cos x \left( \frac{1}{\sin x} — \sin x \right)}{2 \sin^2 x \cos x} \)

6. Сократим одинаковые множители:

\( = \frac{1 — \sin^2 x}{2 \sin^2 x} \)

7. Используя тригонометрическое тождество \( 1 — \sin^2 x = \cos^2 x \), получаем:

\( = \frac{\cos^2 x}{2 \sin^2 x} = \frac{1}{2 \tan^2 x} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \tan^2 x \)