ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1410 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Исключить переменную \( \alpha \) из системы:

\( \begin{cases}
x = \sin \alpha + \cos \alpha, \\
y = \sin \alpha \cos \alpha;
\end{cases} \)

1. Начнем с первого уравнения: \( x = \sin \alpha + \cos \alpha \).

2. Возведем обе стороны в квадрат:

\( x^2 = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 \)

3. Теперь раскроем скобки на правой стороне:

\( x^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \)

4. Применим основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), и подставим его в выражение:

\( x^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha \)

5. Теперь заметим, что во втором уравнении системы у нас есть выражение \( y = \sin \alpha \cos \alpha \). Подставим это значение для \( \sin \alpha \cos \alpha \) в выражение для \( x^2 \):

\( x^2 = 1 + 2y \)

Ответ: \( x^2 = 1 + 2y \)

Таким образом, мы выразили \( x^2 \) через \( y \), исключив переменную \( \alpha \).

б) Исключить переменную \( \alpha \) из системы:

\( \begin{cases}
\tan^4 \alpha + \cot^4 \alpha = x, \\
\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = y.
\end{cases} \)

1. Начнем с второго уравнения системы: \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = y \).

2. Возведем обе стороны этого уравнения в квадрат, чтобы исключить переменную \( \alpha \):

\( y^2 = (\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha)^2 \)

3. Раскроем квадрат на правой стороне с использованием формулы квадрата суммы:

\( y^2 = \tan^4 \alpha + 2 \tan^2 \alpha \cot^2 \alpha + \cot^4 \alpha \)

4. Напоминаем, что \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \), следовательно, \( \tan^2 \alpha \cot^2 \alpha = 1 \). Подставляем это значение в выражение:

\( y^2 = \tan^4 \alpha + 2 \cdot 1 + \cot^4 \alpha \)

5. Упростим это выражение:

\( y^2 = \tan^4 \alpha + \cot^4 \alpha + 2 \)

6. Из первого уравнения системы знаем, что \( \tan^4 \alpha + \cot^4 \alpha = x \), подставим это в выражение для \( y^2 \):

\( y^2 = x + 2 \)

Ответ: \( y^2 = x + 2 \)

Таким образом, мы выразили \( y^2 \) через \( x \), исключив переменную \( \alpha \).