ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1409 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Упростим выражение: \( \frac{1 — \cos a}{\sqrt{1 + \cos a}} + \frac{1 + \cos a}{\sqrt{1 — \cos a}} \)

1. Начнем с приведения выражения к общему знаменателю. Общий знаменатель для этих двух дробей будет \( \sqrt{1 + \cos a} \cdot \sqrt{1 — \cos a} \). Рассмотрим числитель:

\( (1 — \cos a) \cdot \sqrt{1 — \cos a} + (1 + \cos a) \cdot \sqrt{1 + \cos a} \)

2. Раскроем скобки в числителе:

\( = (1 — \cos a) \cdot \sqrt{1 — \cos a} + (1 + \cos a) \cdot \sqrt{1 + \cos a} \)

3. Сокращаем и упрощаем числитель, в конце получаем:

\( = \frac{2}{\sqrt{(1 + \cos a)(1 — \cos a)}} \)

4. Применим тождество разности квадратов: \( (1 + \cos a)(1 — \cos a) = 1 — \cos^2 a \), и подставим его в знаменатель:

\( = \frac{2}{\sqrt{1 — \cos^2 a}} \)

5. Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 — \cos^2 a = \sin^2 a \), и получаем:

\( = \frac{2}{\sqrt{\sin^2 a}} = \frac{2}{|\sin a|} \)

Ответ: \( \frac{2}{|\sin a|} \)

б) Упростим выражение: \( \sqrt{\frac{1 — \sin a}{1 + \sin a}} + \sqrt{\frac{1 + \sin a}{1 — \sin a}} \)

1. Начнем с того, что можно записать обе дроби под одним общим знаменателем:

\( = \frac{2}{\sqrt{(1 — \sin a)(1 + \sin a)}} \)

2. В числителе мы видим, что оба слагаемых идентичны, и получаем:

\( = \frac{2}{\sqrt{(1 — \sin a)(1 + \sin a)}} \)

3. Применяем тождество разности квадратов для знаменателя: \( (1 — \sin a)(1 + \sin a) = 1 — \sin^2 a \), и подставляем это в выражение:

\( = \frac{2}{\sqrt{1 — \sin^2 a}} \)

4. Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 — \sin^2 a = \cos^2 a \), и получаем:

\( = \frac{2}{\sqrt{\cos^2 a}} = \frac{2}{|\cos a|} \)

Ответ: \( \frac{2}{|\cos a|} \)