ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1408 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Найдите \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha \), если \( \tan \alpha + \cot \alpha = m \).

1. Начнем с того, что воспользуемся формулой для квадрата суммы:

\( (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 = \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + 2 \tan \alpha \cdot \cot \alpha \)

2. Так как \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \), подставим это значение в формулу:

\( (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 = \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + 2 \)

3. Из этого выражения выразим \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha \):

\( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 — 2 \)

4. Подставляем \( \tan \alpha + \cot \alpha = m \):

\( = m^2 — 2 \)

Ответ: \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = m^2 — 2 \)

б) Найдите \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \), если \( \sin \alpha + \cos \alpha = p \).

1. Начнем с того, что можно использовать тождество для разности квадратов:

\( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 — 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \)

2. Известно, что \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), подставляем это в выражение:

\( = 1^2 — 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \)

3. Теперь, для выражения \( \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \), воспользуемся тождеством \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha \). Развиваем его:

\( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = p^2 \), следовательно:

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), а также \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = p^2 — 1 \), из чего получаем:

\( \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \frac{(p^2 — 1)^2}{4} \)

4. Подставляем это значение в исходное выражение для \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \):

\( = 1 — 2 \cdot \frac{(p^2 — 1)^2}{4} \)

5. Упростим выражение:

\( = 1 — \frac{(p^2 — 1)^2}{2} \)

6. Раскроем скобки в числителе:

\( = \frac{1 + 2p^2 — p^4}{2} \)

Ответ: \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = \frac{1 + 2p^2 — p^4}{2} \)