ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1407 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при всех допустимых значениях \( \alpha \) принимает одно и то же значение выражение:
а) \( \frac{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha — \cos^4 \alpha}; \)
б) \( \frac{1}{1 — \tan^2 \alpha} + \frac{1}{1 — \cot^2 \alpha}. \)
Значение не зависит от \( \alpha \):
а) \( \frac{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha — \cos^4 \alpha} = \)
\( = \frac{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha}{(\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)} = \)
\( = \frac{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha}{(\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha) \cdot 1} = 1; \)
Что и требовалось доказать.
б) \( \frac{1}{1 — \tan^2 \alpha} + \frac{1}{1 — \cot^2 \alpha} = \)
\( = \frac{1 — \cot^2 \alpha + 1 — \tan^2 \alpha}{(1 — \tan^2 \alpha)(1 — \cot^2 \alpha)} = \)
\( = \frac{2 — \cot^2 \alpha — \tan^2 \alpha}{1 — \cot^2 \alpha — \tan^2 \alpha + 1} = 1; \)
Что и требовалось доказать.
а) Доказать, что выражение: \( \frac{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha — \cos^4 \alpha} \) принимает одно и то же значение при всех допустимых значениях \( \alpha \).
1. Начнём с преобразования знаменателя, используя формулу разности квадратов: \( a^4 — b^4 = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2) \), где \( a = \sin^2 \alpha \) и \( b = \cos^2 \alpha \).
Знаменатель: \( \sin^4 \alpha — \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) \)
2. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), подставляем это в выражение:
\( = (\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha) \cdot 1 \)
3. Теперь подставим это в числитель и знаменатель:
\( \frac{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha}{(\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha) \cdot 1} \)
4. Сокращаем одинаковые выражения в числителе и знаменателе, и остаётся:
\( = 1 \)
Ответ: Тождество доказано. Значение выражения не зависит от \( \alpha \), и оно равно \( 1 \).
б) Доказать, что выражение: \( \frac{1}{1 — \tan^2 \alpha} + \frac{1}{1 — \cot^2 \alpha} \) принимает одно и то же значение при всех допустимых значениях \( \alpha \).
1. Используем тождество для \( \tan^2 \alpha \) и \( \cot^2 \alpha \), подставим их в выражение:
\( \frac{1}{1 — \tan^2 \alpha} + \frac{1}{1 — \cot^2 \alpha} \)
2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для этих дробей: \( (1 — \tan^2 \alpha)(1 — \cot^2 \alpha) \). Пишем числитель:
\( = \frac{(1 — \cot^2 \alpha) + (1 — \tan^2 \alpha)}{(1 — \tan^2 \alpha)(1 — \cot^2 \alpha)} \)
3. Упростим числитель, сложив числители обеих дробей:
\( = \frac{2 — \cot^2 \alpha — \tan^2 \alpha}{(1 — \tan^2 \alpha)(1 — \cot^2 \alpha)} \)
4. Теперь преобразуем знаменатель. Напоминаем, что \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \), и подставим это в знаменатель:
\( = (1 — \tan^2 \alpha)(1 — \frac{1}{\tan^2 \alpha}) \)
5. Приведём этот знаменатель к общему знаменателю:
\( = (1 — \tan^2 \alpha) \cdot \frac{\tan^2 \alpha — 1}{\tan^2 \alpha} = \frac{1 — \tan^2 \alpha — \tan^2 \alpha + 1}{\tan^2 \alpha} = 1 \)
6. Таким образом, числитель и знаменатель упрощаются и мы получаем:
\( = 1 \)
Ответ: Тождество доказано. Значение выражения не зависит от \( \alpha \), и оно равно \( 1 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.