ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1406 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Доказать, что значение выражения не зависит от \( x \): \( \frac{2\sin x \cos x — 1}{(\sin x — \cos x)^2} \)

1. Начнём с числителя:

\( 2\sin x \cos x — 1 \)

2. Применим тождество для удвоенного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), и подставим его в числитель:

\( = \sin 2x — 1 \)

3. Теперь рассматриваем знаменатель: \( (\sin x — \cos x)^2 \). Раскроем скобки:

\( = \sin^2 x — 2 \sin x \cos x + \cos^2 x \)

4. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), и подставим его:

\( = 1 — 2 \sin x \cos x \)

5. Подставляем числитель и знаменатель обратно в выражение:

\( \frac{\sin 2x — 1}{1 — 2 \sin x \cos x} \)

6. Теперь заметим, что числитель и знаменатель — это выражения, которые могут быть записаны как разность квадратов:

\( = \frac{-(\sin x — \cos x)^2}{(\sin x — \cos x)^2} = -1 \)

Ответ: Значение не зависит от \( x \), равняется \( -1 \).

б) Доказать, что значение выражения не зависит от \( x \): \( \frac{1}{1 + \tan^2 x} + \frac{1}{1 + \cot^2 x} \)

1. Начнём с преобразования выражений в числителе. Используем тождество для тангенса и котангенса:

\( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \) и \( 1 + \cot^2 x = \csc^2 x \). Подставим эти выражения в исходное:

\( = \frac{1}{\sec^2 x} + \frac{1}{\csc^2 x} \)

2. Преобразуем выражения в дробях, используя определения \( \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \) и \( \csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} \):

\( = \cos^2 x + \sin^2 x \)

3. Применяем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \):

\( = 1 \)

Ответ: Значение не зависит от \( x \), равняется \( 1 \).