ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1405 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при всех допустимых значениях \( \alpha \) верно равенство:
а) \( 1 — 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha; \)
б) \( \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha — \cos \alpha} — \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\tan^2 \alpha — 1} = \sin \alpha + \cos \alpha. \)
Доказать равенство:
а) \( 1 — 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha; \)
Левая часть равенства:
\( 1 — 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha — 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \)
\( = \sin^2 \alpha (1 — \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha (1 — \sin^2 \alpha) — \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \)
\( = \sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \)
\( = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha — \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) = \)
\( = \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha; \)
Равенство доказано.
б) \( \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha — \cos \alpha} — \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\tan^2 \alpha — 1} = \sin \alpha + \cos \alpha; \)
\( \frac{\sin^2 \alpha \tan^2 \alpha — \sin^2 \alpha — \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{(\sin \alpha — \cos \alpha)(\tan^2 \alpha — 1)} = \sin \alpha + \cos \alpha; \)
\( \frac{\sin^2 \alpha (\tan^2 \alpha — 1) — \cos^2 \alpha (\tan^2 \alpha — 1)}{(\sin \alpha — \cos \alpha)(\tan^2 \alpha — 1)} = \sin \alpha + \cos \alpha; \)
\( \frac{(\sin \alpha — \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)(\tan^2 \alpha — 1)}{(\sin \alpha — \cos \alpha)(\tan^2 \alpha — 1)} = \sin \alpha + \cos \alpha; \)
\( \sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha + \cos \alpha; \)
Равенство доказано.
а) Доказать равенство: \( 1 — 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha \)
1. Рассмотрим левую часть уравнения: \( 1 — 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \).
2. Мы знаем, что \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), и можем выразить её как \( 1 — 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \). Теперь перепишем выражение:
\( 1 — 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha — 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \)
3. Разделим на два выражения:
\( = \sin^2 \alpha (1 — \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha (1 — \sin^2 \alpha) — \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \)
4. Теперь используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), и подставляем это в выражение:
\( = \sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \)
5. Собираем все члены:
\( = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha — \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) \)
6. Теперь применяем тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), получаем:
\( = \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha \)
Ответ: Тождество доказано.
б) Доказать равенство: \( \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha — \cos \alpha} — \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\tan^2 \alpha — 1} = \sin \alpha + \cos \alpha \)
1. Перейдём ко второму выражению. Вспоминаем, что \( \tan^2 \alpha — 1 = \sec^2 \alpha — 1 = \cos^2 \alpha \), и подставляем это в знаменатель второго выражения:
\( = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha — \cos \alpha} — \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos^2 \alpha} \)
2. Приводим обе дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для обеих дробей будет \( \cos^2 \alpha \), и перепишем выражение так:
\( = \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha — \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{(\sin \alpha — \cos \alpha)(\cos^2 \alpha)} \)
3. Смотрим на числитель, распишем его более подробно:
\( = \frac{\sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha — 1) + \cos^2 \alpha (\cos^2 \alpha — 1)}{(\sin \alpha — \cos \alpha)(\cos^2 \alpha)} \)
4. Заметим, что \( \cos^2 \alpha — 1 = — \sin^2 \alpha \), и подставляем это в числитель:
\( = \frac{(\sin \alpha — \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)(\tan^2 \alpha — 1)}{(\sin \alpha — \cos \alpha)(\tan^2 \alpha — 1)} \)
5. После сокращения одинаковых выражений в числителе и знаменателе, получаем:
\( = \sin \alpha + \cos \alpha \)
Ответ: Тождество доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.