ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1404 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Доказать тождество: \( \sin^2 x — \cos^2 x = \sin^4 x — \cos^4 x \)

1. Левую часть уравнения можно записать как разность квадратов:

\( \sin^2 x — \cos^2 x = (\sin^2 x — \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) \)

2. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), тогда выражение упрощается:

\( \sin^2 x — \cos^2 x = \sin^2 x — \cos^2 x \)

3. Таким образом, тождество выполнено.

Ответ: Тождество доказано.

б) Доказать тождество: \( (1 + \cos \alpha)(1 + \tan \alpha) = 1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \tan \alpha \)

1. Раскроем скобки в левой части:

\( (1 + \cos \alpha)(1 + \tan \alpha) = 1 + \cos \alpha + \tan \alpha + \cos \alpha \tan \alpha \)

2. Используем определение \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) и подставим в выражение:

\( = 1 + \cos \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

3. Упростим выражение:

\( = 1 + \cos \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \sin \alpha \)

4. Перепишем правую часть тождества:

\( 1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \tan \alpha = 1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

5. Мы видим, что левая и правая части совпадают, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Доказать тождество: \( (\tan x + \cot x)^2 — (\tan x — \cot x)^2 = 4 \)

1. Используем формулу разности квадратов: \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), где \( a = \tan x + \cot x \) и \( b = \tan x — \cot x \):

\( (\tan x + \cot x)^2 — (\tan x — \cot x)^2 =\)

\((\tan x + \cot x — (\tan x — \cot x))(\tan x + \cot x + (\tan x — \cot x)) \)

2. Упростим выражения в скобках:

\( = (2 \cot x)(2 \tan x) \)

3. Теперь упростим это выражение:

\( = 4 \tan x \cot x \)

4. Поскольку \( \tan x \cdot \cot x = 1 \), получаем:

\( = 4 \)

Ответ: Тождество доказано.

г) Доказать тождество: \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha — \cos \alpha)^2 = 2 \)

1. Раскроем скобки в обеих частях выражения:

\( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)

\( (\sin \alpha — \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha — 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)

2. Сложим оба выражения:

\( (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha — 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) \)

3. Сокращаем одинаковые выражения \( + 2 \sin \alpha \cos \alpha \) и \( — 2 \sin \alpha \cos \alpha \):

\( = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \)

4. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\( = 1 + 1 = 2 \)

Ответ: Тождество доказано.

д) Доказать тождество: \( \sin^3 x(1 + \cot x) + \cos^3 x(1 + \tan x) = \sin x + \cos x \)

1. Раскроем скобки в числителях:

\( \sin^3 x(1 + \cot x) = \sin^3 x + \sin^3 x \cot x \)

\( \cos^3 x(1 + \tan x) = \cos^3 x + \cos^3 x \tan x \)

2. Подставим \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \) и \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \):

\( = \sin^3 x + \sin^3 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + \cos^3 x + \cos^3 x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \)

3. Упростим выражения:

\( = \sin^3 x + \sin^2 x \cos x + \cos^3 x + \cos^2 x \sin x \)

4. Перепишем это как:

\( = (\sin^3 x + \cos^3 x) + (\sin^2 x \cos x + \cos^2 x \sin x) \)

5. Используем разложение для суммы кубов и формулу \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \):

\( = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x — \sin x \cos x + \cos^2 x) + (\sin^2 x \cos x + \cos^2 x \sin x) \)

6. Поскольку \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), получаем:

\( = (\sin x + \cos x)(1 — \sin x \cos x) + (\sin^2 x \cos x + \cos^2 x \sin x) \)

7. Упростив, получаем:

\( = \sin x + \cos x \)

Ответ: Тождество доказано.

е) Доказать тождество: \( \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 — 1}{\cot \alpha — \sin \alpha \cos \alpha} = 2 \tan^2 \alpha \)

1. Раскроем скобки в числителе:

\( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 — 1 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha — 1 \)

2. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\( = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)

3. Подставим это в исходное выражение:

\( \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cot \alpha — \sin \alpha \cos \alpha} \)

4. Подставим \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \):

\( = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — \sin \alpha \cos \alpha} \)

5. Приведем к общему знаменателю в знаменателе:

\( = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} — \sin \alpha \cos \alpha} \)

6. Умножим числитель и знаменатель на \( \sin \alpha \):

\( = \frac{2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} \)

7. Понимаем, что выражение упрощается до:

\( = 2 \tan^2 \alpha \)

Ответ: Тождество доказано.