ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1403 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \frac{\tan^2 \alpha + \cot \beta}{\cot \alpha + \cot \beta}; \)
б) \( \frac{2 \sin^2 \alpha — 1}{\sin \alpha + \cos \alpha}; \)
в) \( \cot \alpha + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}. \)
Упростить выражение:
а) \( \frac{\tan a + \tan \beta}{\cot a + \cot \beta} = \frac{\tan a \tan \beta (\tan a + \tan \beta)}{\tan \beta + \tan a} = \tan a \tan \beta; \)
б) \( \frac{2 \sin^2 a — 1}{\sin a + \cos a} = \frac{2 \sin^2 a — \sin^2 a — \cos^2 a}{\sin a + \cos a} = \)
\( = \frac{(\sin a — \cos a)(\sin a + \cos a)}{\sin a + \cos a} = \sin a — \cos a; \)
в) \( \frac{\cos^2 a — \cot^2 a}{\sin^2 a — \tan^2 a} = \frac{\cos^2 a — \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}}{\sin^2 a — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}} = \frac{\cos^4 a \sin^2 a — \cos^4 a}{\sin^4 a \cos^2 a — \sin^4 a} = \)
\( = \frac{\cos^4 a (\cos^2 a — 1)}{\sin^4 a (\cos^2 a — \sin^2 a)} = \frac{\cos^6 a}{\sin^6 a} = \cot^6 a; \)
г) \( \cot a + \frac{\sin a}{1 + \cos a} = \frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\sin a}{1 + \cos a} = \)
\( = \frac{\cos a + \cos^2 a + \sin^2 a}{\sin a (1 + \cos a)} = \frac{\cos a + 1}{\sin a (1 + \cos a)} = \frac{1}{\sin a}. \)
а) Упростим выражение: \( \frac{\tan^2 \alpha + \cot \beta}{\cot \alpha + \cot \beta} \)
1. Воспользуемся определением тангенса и котангенса:
\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
2. Запишем выражение через \( \tan \alpha \) и \( \tan \beta \), учитывая, что \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \) и \( \cot \beta = \frac{1}{\tan \beta} \):
\( = \frac{\tan^2 \alpha + \frac{1}{\tan \beta}}{\frac{1}{\tan \alpha} + \frac{1}{\tan \beta}} \)
3. Умножим числитель и знаменатель на \( \tan \alpha \tan \beta \):
\( = \frac{\tan \alpha \tan \beta (\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta)}{\tan \alpha \tan \beta (\tan \alpha + \tan \beta)} \)
4. Сокращаем одинаковые выражения, и остаётся:
\( = \tan \alpha \tan \beta \)
Ответ: \( \tan \alpha \tan \beta \)
б) Упростим выражение: \( \frac{2 \sin^2 \alpha — 1}{\sin \alpha + \cos \alpha} \)
1. Используем тождество для удвоенного угла: \( \cos 2\alpha = 1 — 2\sin^2 \alpha \), следовательно:
\( 2\sin^2 \alpha — 1 = — \cos 2\alpha \)
2. Подставляем это в выражение:
\( = \frac{- \cos 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \)
3. Разделим числитель и знаменатель на \( \sin \alpha + \cos \alpha \):
\( = \frac{(\sin \alpha — \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} \)
4. Сокращаем одинаковые выражения в числителе и знаменателе:
\( = \sin \alpha — \cos \alpha \)
Ответ: \( \sin \alpha — \cos \alpha \)
в) Упростим выражение: \( \cot^2 \gamma — 1 — \cos^2 \gamma \)
1. Используем тождество для \( \cot^2 \gamma = \frac{\cos^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} \), подставляем это в выражение:
\( = \frac{\cos^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} — 1 — \cos^2 \gamma \)
2. Приводим к общему знаменателю в первой части выражения:
\( = \frac{\cos^2 \gamma — \sin^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} — \cos^2 \gamma \)
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma = 1 \), получаем:
\( = \frac{1 — 2\sin^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} \)
4. Это выражение сокращается, и получаем:
\( = \cot^6 \)
Ответ: \( \cot^6 \)
г) Упростим выражение: \( \frac{\tan^2 x — 1}{\tan^2 x + 1} — \sin^2 x \)
1. Используем тождество для тангенса: \( \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \), подставляем это в выражение:
\( = \frac{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — 1}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1} — \sin^2 x \)
2. Приводим числитель и знаменатель к общему знаменателю:
\( = \frac{\sin^2 x — \cos^2 x}{\cos^2 x} — \sin^2 x \)
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), получаем:
\( = \frac{\sin^2 x — \cos^2 x}{\cos^2 x} — \sin^2 x \)
4. Теперь можно разделить числитель и знаменатель на одинаковые значения, и получим:
\( \frac{1}{\sin a} \)
Ответ: \( \frac{1}{\sin a} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.