ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1402 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение:
а) \( \cos^2 \alpha + \frac{\tan^2 \alpha — 1}{\tan^2 \alpha + 1}; \)
б) \( \sin^2 \varphi + \frac{\cot^2 \varphi — 1}{\cot^2 \varphi + 1}; \)
в) \( \cot^2 \gamma — 1 — \cos^2 \gamma; \)
г) \( \frac{\tan^2 x — 1}{\tan^2 x + 1} — \sin^2 x. \)
Преобразовать выражение:
а) \( \cos^2 a + \frac{\tan^2 a — 1}{\tan^2 a + 1} = \cos^2 a + \frac{\sin^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a + \cos^2 a} = \sin^2 a; \)
б) \( \sin^2 \varphi + \frac{\cot^2 \varphi — 1}{\cot^2 \varphi + 1} = \sin^2 \varphi + \frac{\cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi}{\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi} = \cos^2 \varphi; \)
в) \( \frac{\cot^2 \gamma — 1}{\cot^2 \gamma + 1} — \cos^2 \gamma = \frac{\cos^2 \gamma — \sin^2 \gamma}{\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma} — \cos^2 \gamma = -\sin^2 \gamma; \)
г) \( \frac{\tan^2 x — 1}{\tan^2 x + 1} — \sin^2 x = \frac{\sin^2 x — \cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x} — \sin^2 x = -\cos^2 x. \)
а) Преобразуем выражение: \( \cos^2 \alpha + \frac{\tan^2 \alpha — 1}{\tan^2 \alpha + 1} \)
1. Воспользуемся тождеством \( \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \). Подставим это в числитель и знаменатель:
\( \frac{\tan^2 \alpha — 1}{\tan^2 \alpha + 1} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} — 1}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1} \)
2. Приводим числитель и знаменатель к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на \( \cos^2 \alpha \):
\( = \frac{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha} \)
3. Теперь, используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), у нас получается:
\( = \frac{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha}{1} = \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha \)
4. Подставляем это в исходное выражение:
\( \cos^2 \alpha + \left( \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha \right) = \sin^2 \alpha \)
Ответ: \( \sin^2 \alpha \)
б) Преобразуем выражение: \( \sin^2 \varphi + \frac{\cot^2 \varphi — 1}{\cot^2 \varphi + 1} \)
1. Воспользуемся тождеством \( \cot^2 \varphi = \frac{\cos^2 \varphi}{\sin^2 \varphi} \). Подставим это в числитель и знаменатель:
\( \frac{\cot^2 \varphi — 1}{\cot^2 \varphi + 1} = \frac{\frac{\cos^2 \varphi}{\sin^2 \varphi} — 1}{\frac{\cos^2 \varphi}{\sin^2 \varphi} + 1} \)
2. Приводим числитель и знаменатель к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на \( \sin^2 \varphi \):
\( = \frac{\cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi}{\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi} \)
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \), получаем:
\( = \cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi \)
4. Подставляем это в исходное выражение:
\( \sin^2 \varphi + \left( \cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi \right) = \cos^2 \varphi \)
Ответ: \( \cos^2 \varphi \)
в) Преобразуем выражение: \( \cot^2 \gamma — 1 — \cos^2 \gamma \)
1. Воспользуемся тождеством \( \cot^2 \gamma = \frac{\cos^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} \), подставим это в выражение:
\( = \frac{\cos^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} — 1 — \cos^2 \gamma \)
2. Приводим к общему знаменателю в первой части выражения:
\( = \frac{\cos^2 \gamma — \sin^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} — \cos^2 \gamma \)
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1 \), получаем:
\( = \frac{1 — 2 \sin^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} = — \sin^2 \gamma \)
Ответ: \( -\sin^2 \gamma \)
г) Преобразуем выражение: \( \frac{\tan^2 x — 1}{\tan^2 x + 1} — \sin^2 x \)
1. Воспользуемся тождеством \( \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \), подставим это в выражение:
\( = \frac{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — 1}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1} — \sin^2 x \)
2. Приводим числитель и знаменатель к общему знаменателю:
\( = \frac{\sin^2 x — \cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x} — \sin^2 x \)
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), получаем:
\( = \frac{\sin^2 x — \cos^2 x}{1} — \sin^2 x \)
4. Преобразуем числитель:
\( = \sin^2 x — \cos^2 x — \sin^2 x = — \cos^2 x \)
Ответ: \( -\cos^2 x \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.